Travail effectué par une force variable

Publié le 18 janvier, 2024

La physique

Le travail consiste à déplacer un objet

Nous travaillons sur les objets lorsque nous les déplaçons. Prenez votre chat sur le canapé et vous avez travaillé dessus. Soulevez le téléviseur de votre ami dans un camion de déménagement et vous avez terminé le travail. Lorsque nous avons entendu parler du travail pour la première fois, on nous a dit que la quantité de travail effectuée sur un objet est égale à la force exercée sur cet objet sur la distance sur laquelle il est déplacé. Simplifié, nous pouvons écrire cette équation sous la forme travail = force x distance.

Cela semble plutôt bien, non? Mais il y a un problème ici. Pensez à soulever cette télé ou à ramasser votre chat. La quantité de levage que vous effectuez est-elle constante à mesure que vous déplacez l’objet ? Probablement pas. Même si vous essayez très fort d’appliquer une force constante sur cet objet, elle reste quelque peu variable au fil du temps où vous l’appliquez.

Cela complique un peu les choses, car calculer la quantité de travail effectué n’est pas aussi simple. Par exemple, disons que vous déplacez une boîte sur le sol, mais que la force que vous appliquez diminue au fur et à mesure. Pour cette force variable, nous aurons besoin de plus qu’une simple équation. Mais avant d’entrer dans le vif du sujet, examinons le travail sur le graphique pour nous aider à comprendre ce que nous calculons réellement.

Calculer le travail effectué

Il pourrait être utile de considérer le travail effectué comme une zone sur un graphique, où la force est sur l’axe des y et la distance sur l’axe des x. Lorsque la force est constante, nous avons une ligne droite sortant de l’axe y et s’arrêtant à la distance parcourue par l’objet. Pour trouver le travail effectué, nous trouvons simplement l’aire sous la « courbe ». Dans ce cas, puisque la « courbe » est une ligne horizontale, la zone a la forme d’un rectangle.

Par conséquent, pour calculer l’aire, nous multiplions simplement un côté par l’autre, ce qui est égal à la force multipliée par la distance. Le résultat est le travail effectué sur un objet.

C’était assez facile, non? Mais n’oubliez pas que c’est le travail effectué par une force constante. À quoi ressemblerait le graphique si la force changeait à mesure que l’objet était déplacé? Il existe en fait de nombreuses façons différentes de modifier la force, mais nous commencerons par le scénario le plus simple.

Disons que vous avez poussé une boîte sur le sol avec une force constamment décroissante. Vous avez poussé et poussé jusqu’à ce que votre force atteigne zéro et que la boîte s’arrête. Si vous représentiez la force sur la distance sur laquelle vous avez poussé la boîte, vous obtiendriez une ligne droite avec une pente négative.

Travail effectué avec une force linéaire décroissante

En regardant le graphique, il est facile de voir que l’aire sous la courbe est un triangle. En utilisant la géométrie de base, nous pouvons trouver la quantité de travail effectué en calculant simplement l’aire du triangle. C’est assez simple, alors ajoutons une touche.

Cette fois, vous poussez la boîte avec la même force décroissante, mais avant qu’elle n’atteigne zéro, vous recevez un appel téléphonique et devez vous arrêter. Si nous tracions cette force, nous obtiendrions la même ligne droite avec une pente négative, mais maintenant elle flotte dans les airs.

Travail effectué avec une force linéaire décroissante et une interruption

Ne pas s’inquiéter. Nous pouvons toujours résoudre ce problème avec la géométrie de base. L’aire sous la courbe est en réalité la combinaison d’un triangle et d’un rectangle. Tout ce que nous avons à faire est de trouver l’aire des deux formes et de les additionner.

Cette méthode vous permettra de trouver le travail effectué par n’importe quelle force qui change de manière linéaire, mais que pouvons-nous faire si la force change de manière plus complexe?

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Calcul du travail à l’aide de l’approximation rectangulaire

Si nous réduisons notre force de poussée sur la boîte d’un taux variable à mesure que nous nous déplaçons sur le sol, nous pourrions nous retrouver avec une ligne courbe sur le graphique, comme celle-ci. Le calcul de l’aire sous la courbe nécessitera plus qu’une simple géométrie de base. Ou est-ce?

Travail effectué avec une force variable décroissante

Une méthode que nous pouvons utiliser pour approximer l’aire sous une ligne courbe consiste à la diviser en rectangles. Nous dessinons les rectangles de manière à ce que la courbe passe par le milieu du bord supérieur.

Calculer le travail effectué sur une force variable décroissante

Dessiner les rectangles de cette façon permet de réduire l’erreur de notre approximation. En effet, la partie du rectangle au-dessus de la courbe est compensée par une partie « manquante » sous la courbe.

La largeur que nous choisissons pour nos rectangles dépend de la précision dont nous avons besoin pour notre approximation. Quelques rectangles larges ne s’adapteront pas très bien à la courbe, ils ne sont donc pas aussi précis que l’utilisation de nombreux rectangles étroits. Cependant, l’utilisation de nombreux rectangles étroits signifie que nous aurons beaucoup de calculs à faire lorsque viendra le temps de trouver l’aire. Quoi qu’il en soit, la décision nous oblige à faire un compromis qui sera basé sur les besoins du problème particulier que nous essayons de résoudre.

Une fois que nous avons décidé de la taille des rectangles, nous pouvons trouver l’aire de chacun avec la géométrie de base. En additionnant les aires de tous les rectangles, on obtient une approximation de l’aire totale, et donc du travail.

Mais que se passe-t-il si nous avons besoin d’une solution exacte et pas seulement d’une approximation?

Calculer le travail à l’aide de l’intégration

Si nous poussons l’approximation rectangulaire à l’extrême, nous aboutissons à un concept de calcul appelé intégration. Imaginez dessiner un nombre infini de rectangles sous la courbe en les rendant de plus en plus étroits. Finalement, nous ne verrions aucune différence entre la forme créée par les rectangles et la forme créée par la courbe. Le problème est qu’additionner toutes les aires d’un nombre infini de rectangles prendrait un temps infini. C’est là qu’intervient l’intégration.

L’intégration nous permet de trouver une solution exacte si nous connaissons la fonction qui décrit la force. Parfois, le problème que nous essayons de résoudre nous dira quelle est la fonction, et parfois nous devrons la découvrir. Quoi qu’il en soit, le processus même d’intégration d’une fonction nécessite certaines connaissances en calcul qui dépassent le cadre de cette leçon. Cependant, si vous avez accès à un ordinateur, de nombreux outils sont disponibles pour effectuer l’intégration à votre place. Avec l’aide de la technologie, l’intégration peut encore s’avérer un outil utile pour déterminer le travail effectué par une force variable.

Résumé de la leçon

Chaque fois que nous travaillons sur un objet, nous appliquons une force sur l’objet sur une distance donnée. Lorsque cette force est constante, nous pouvons déterminer la quantité de travail effectué en multipliant simplement la force par la distance de déplacement de l’objet.

Cependant, en réalité, la plupart des forces ne sont pas constantes, ce qui nécessite d’utiliser d’autres méthodes. Si nous considérons le travail effectué comme l’aire sous une courbe, nous pouvons comprendre pourquoi il n’est souvent pas possible de simplement multiplier la force par la distance pour trouver notre réponse.

Si la force est linéaire, vous pouvez utiliser la géométrie de base pour trouver l’aire sous la courbe en la divisant en formes géométriques simples. Si votre force variable n’est pas linéaire et qu’une approximation étroite du travail suffit, nous pouvons alors diviser la zone sous la courbe en petits rectangles. Bien que cela ne nous donne pas la quantité exacte de travail effectué, si nous réduisons nos rectangles suffisamment petits, nous pouvons nous en rapprocher.

Cependant, si une réponse exacte est nécessaire pour une force non linéaire, nous devons alors utiliser le calcul. Mais avant de pouvoir intégrer, la force doit être définie par une fonction. Nous devrons peut-être également utiliser la technologie, comme un ordinateur, pour nous aider. Quelle que soit la méthode que vous choisissez, il est important de comprendre ces concepts car, le plus souvent, le travail est effectué par une force variable.

Résultats d’apprentissage

Une fois que vous aurez terminé cette leçon, vous devriez être capable de :

Rappelez-vous la formule pour calculer la quantité de travail effectué sur un objet
Calculer le travail effectué sur un objet avec une force linéaire et non linéaire fluctuante