Résultantes de vecteurs : définition et calcul

Publié le 18 janvier, 2024

Qu’est-ce qu’une résultante d’un vecteur?

Quelle est votre vitesse, en ce moment? comment répondriez-vous a cette question? Vous avez peut-être répondu très rapidement ou vous avez peut-être pensé que la question était si difficile qu’elle ne valait même pas la peine d’essayer. Votre réponse dépend probablement de la façon dont vous comprenez votre place dans l’univers.

En ce moment, vous êtes probablement assis devant un ordinateur ou une tablette, vous pourriez donc dire que votre vitesse est nulle. Mais est-ce vraiment le cas? La Terre tourne à une vitesse de 465 mètres par seconde et tourne autour du soleil à une vitesse de 30 000 mètres par seconde, ce qui ne dit rien du mouvement de notre système solaire autour de la galaxie ni du mouvement de notre galaxie dans l’univers au sens large. Vous êtes toujours en mouvement et de différentes manières.

Si nous voulions vraiment déterminer votre vitesse totale, vous devrez prendre tous ces vecteurs vitesse et les additionner pour calculer une vitesse totale : une vitesse et une direction globales. Et ce résultat final a un nom. C’est ce qu’on appelle la résultante d’un vecteur.

La résultante d’un vecteur est la valeur totale après addition de deux ou plusieurs vecteurs. Vous pouvez calculer une résultante à l’aide de méthodes graphiques. En fait, dans une autre leçon, nous passons en revue tout le processus d’ajout de vecteurs à l’aide de diagrammes à l’échelle.

Mais nous ne sommes pas tous doués pour dessiner des diagrammes à l’échelle, et les humains sont toujours sujets aux erreurs. Donc, dans cette leçon, nous allons parler de la façon de trouver la résultante de vecteurs en utilisant les mathématiques: une manière plus rapide et plus fiable de le faire.

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Composants et résultats

Il existe deux manières de recevoir un vecteur. On pourrait vous dire, par exemple, qu’une force de 20 newtons agit vers le nord-est ou à 45 degrés par rapport à la direction x positive. Juste un numéro et une direction. On pourrait cependant vous donner un vecteur sous forme de composantes : la force agit à 14,4 newtons au nord et à 14,4 newtons à l’est. Cela pourrait également s’écrire 14.4i + 14.4j. (Si ce type de notation est complètement nouveau pour vous, nous parlerons de cette forme de composant plus en détail dans d’autres leçons.)

Cette forme de composant facilite grandement la recherche du résultat. Disons que vous devez trouver la résultante de deux vecteurs force: 3i + 4j et 2i – 6j. Vous additionnez simplement les forces dans le x et les forces dans le y. 3 + 2 = 5 et 4 + -6 = -2. La résultante de ces deux vecteurs est donc 5i – 2j. Ou en d’autres termes, 5 newtons dans la direction x positive et 2 newtons dans la direction y négative. Et si on nous demande également de donner notre réponse sous forme de composants, alors c’est tout: nous avons déjà terminé.

Si nous ne sommes pas autorisés à donner notre réponse sous forme de composantes, nous pouvons trouver le total en utilisant une combinaison du théorème de Pythagore et de SOHCAHTOA. Nos deux composantes sont les côtés adjacents ( x ) et opposés ( y ) du triangle. Donc, si nous voulons la force totale, nous trouvons la racine carrée de 5 au carré plus 2 au carré, soit 5,39 newtons. Et puis vous pouvez utiliser l’équation du sinus, du cosinus ou de la tangente (selon votre préférence) pour déterminer l’angle, qui s’avère être de 21,8 degrés.


Peut-être qu’un exemple aiderait. Disons que vous vous trouvez sur l’un de ces immenses et larges tapis roulants qui vous aident à monter dans un manège forain. Si le passage se déplace de 3 m/s vers l’ouest et de 4 m/s vers le nord, et que vous marchez de 0,5 m/s vers l’ouest et de 1 m/s vers le sud, quelle est votre résultante (votre vitesse totale) sous forme de composantes ? Et quelle est la grandeur et la direction du vecteur résultant?

Eh bien, tout ce que nous avons à faire pour obtenir la vitesse sous forme de composants est d’ajouter les valeurs x et d’ajouter les valeurs y séparément. Appelons du nord au sud notre axe y et d’est en ouest notre axe x. Dans la direction x, nous avons 3 m/s ouest et 0,5 m/s ouest… ce qui totalise 3,5 m/s ouest. Et dans la direction y, nous avons 4 m/s au nord et 1 m/s au sud… soit en d’autres termes +4 et -1. Ceux-ci totalisent +3, soit 3 m/s au nord. Ainsi, sous forme de composantes, la vitesse totale est de 3 m/s au nord et de 3,5 m/s à l’ouest.

Maintenant, il faut déterminer l’ampleur totale et la direction. Nous avons un triangle rectangle qui représente 3,5 m/s à l’ouest et 3 m/s au nord. En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons trouver l’hypoténuse du triangle, la grandeur totale de la vitesse: elle sera égale à la racine carrée de 3,5 au carré plus 3 au carré, soit 4,6 m/s. Et nous pouvons trouver la direction – l’angle – en prenant la tangente inverse du côté opposé divisée par le côté adjacent, qui est la tangente inverse de 3 divisée par 3,5. Cela nous donne un angle de 40,6 degrés au-dessus de l’ axe des x négatif.

Notre vitesse résultante – notre vitesse totale – est donc de 4,6 m/s à 40,6 degrés au-dessus de l’ axe des x négatif. (Ou équivalent, 3 m/s au nord et 3,5 m/s à l’ouest.) Et c’est tout ! Avaient fini.


La résultante d’un vecteur est la valeur totale après addition de deux ou plusieurs vecteurs. Vous pouvez calculer la résultante à l’aide de méthodes graphiques, mais vous pouvez également le faire à l’aide d’équations. Vous voudrez peut-être faire cela si vous avez plusieurs vitesses à combiner, comme votre vitesse sur la terre, la rotation de la terre et le mouvement de la terre autour du soleil, par exemple.

Pour trouver la résultante de deux vecteurs sous forme de composantes, ajoutez simplement les composantes x de chacun et les composantes y de chacun. Si l’on vous donne la magnitude totale d’un vecteur et l’angle vers lequel il est pointé, vous devrez d’abord le diviser en composants (comme indiqué dans une autre leçon).

Une fois que vous avez votre vecteur résultant sous forme de composants, vous pouvez convertir ce vecteur final en une magnitude et une direction totales en utilisant une combinaison du théorème de Pythagore (pour obtenir la magnitude) et de SOHCAHTOA (pour obtenir la direction).

Trouver les résultantes des vecteurs peut varier d’incroyablement facile à absurdement difficile, selon la situation exacte, les informations qui vous sont fournies et la forme de la réponse que vous devez fournir. Cela nécessite une connaissance large et complète des vecteurs pour résoudre certains de ces problèmes. Mais à condition d’agir avec prudence et méthode, même les problèmes les plus complexes peuvent être résolus.


Cette leçon peut être utilisée pour améliorer votre capacité à :

  • Déterminer quelle est la résultante d’un vecteur
  • Trouver la résultante de deux vecteurs sous forme de composantes
  • Illustrer la méthode utilisée pour convertir le vecteur résultant sous forme de composantes en amplitude et direction totales


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