Rapport d’amortissement et formule de coefficient, unités et exemples

Publié le 17 janvier, 2024

Qu’est-ce que l’amortissement ou l’oscillation harmonique amortie?

Une oscillation est un mouvement de va-et-vient autour d’une position d’équilibre, et un point d’équilibre est un endroit dans un système où le système est parfaitement équilibré et au repos. Mathématiquement, une oscillation est représentée par une onde. En physique, les ondes sont définies comme des oscillations de l’espace-temps provoquées par les vibrations d’un milieu, comme l’air ou l’eau, ou par les interactions d’un champ électrique et magnétique. Lors de l’étude des oscillations, il est important de se rappeler que les vagues transportent de l’énergie et que l’amplitude, ou le déplacement maximal par rapport à l’équilibre, d’une vague est l’un des facteurs qui déterminent l’énergie de la vague. L’onde sinusoïdale représentée sur la figure 1 illustre une oscillation harmonique d’une amplitude de 1. Notez que l’onde se déplace d’avant en arrière autour d’une position d’équilibre à y = 0. La figure 1 est également un exemple d’ oscillation non amortie.

Qu’est-ce que l’amortissement et pourquoi la figure 1 est-elle une vague non amortie ? L’amortissement est le processus de retenue des vibrations, qui se manifeste par une diminution de l’amplitude d’une onde. La figure 1 est une oscillation non amortie car l’amplitude de l’onde sinusoïdale reste constante. La figure 2, quant à elle, représente une oscillation amortie sous la forme d’une autre onde sinusoïdale. Remarquez sur la figure 2 que l’amplitude de l’onde diminue jusqu’à ce que l’onde disparaisse et que toute son énergie ait été transférée au système environnant.

Figure 1: Une onde sinusoïdale est un exemple d’oscillation harmonique non amortie

Un exemple d'oscillation harmonique non amortie, qui n'aurait aucun coefficient d'amortissement.

Figure 2 : Une onde sinusoïdale amortie.

Un exemple d'onde sinusoïdale amortie, qui inclurait un coefficient d'amortissement.

Pour débloquer cette leçon, vous devez être membre d’Estudyando.com.


Équation différentielle du facteur d’amortissement du second ordre

Un système amorti est un système qui a un mouvement, et un système en mouvement est décrit mathématiquement à l’aide d’une équation différentielle homogène du second ordre, ou ODE. Une équation différentielle est une équation qui contient des dérivées, et si l’équation peut être égale à zéro, elle est considérée comme homogène. Pour comprendre pourquoi un système en mouvement est représenté à l’aide d’une ODE du second ordre, imaginez une masse attachée à un ressort. Lorsque le ressort est comprimé et relâché, la masse se déplace, et il existe trois grandeurs liées qui décrivent le mouvement de ce système :

1) Il y a le déplacement de la masse, qui est représenté par la variable x.

2) Il y a la vitesse de la masse, et la vitesse est la dérivée première du déplacement. Cela peut être écrit sous la forme {eq}\dot x {/eq} où le point représente la dérivée temporelle, ou cela peut être écrit dans la notation dérivée traditionnelle, {eq}\frac{dx}{dt} {/eq}.

3) Il y a l’accélération de la masse, et l’accélération est la dérivée seconde du déplacement. En utilisant la notation par points, cela peut être écrit sous la forme {eq}\dot v {/eq} où v représente la vitesse, ou cela peut être écrit sous la forme {eq}\frac{d^2x}{dt^2} {/eq}.

Ces trois facteurs qui contrôlent le mouvement de la masse sur le ressort sont combinés en une seule expression représentant le mouvement, {eq}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + x = 0 {/éq}. C’est l’expression générale du mouvement, et lorsqu’on parle d’oscillations, comme celle de la masse attachée au ressort, cette équation prend la forme {eq}m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{ dx}{dt} + kx = 0 {/eq} où m est la masse, c est une constante et k est la constante du ressort. Pour résoudre cette expression, l’équation doit être réorganisée de manière à ce que la dérivée seconde n’ait pas de coefficient. La division par m transforme l’expression en {eq}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{c}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0 {/éq}. Notez que le coefficient du terme de déplacement, {eq}\frac{k}{m} {/eq}, est le carré de la fréquence angulaire, qui est donné par l’équation {eq}\omega = \sqrt(\frac{ k}{m}) {/eq}, et il est d’usage de réécrire ce coefficient sous la forme {eq}\frac{k}{m} = \omega_0^2 {/eq} où l’indice signifie que cela représente l’angle angulaire initial fréquence. La dernière pièce du puzzle consiste à réécrire le coefficient du terme de vitesse en termes de {eq}\omega_0 {/eq}. Faire cette substitution finale donne l’ équation du facteur d’amortissement comme {eq}\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \zeta \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 {/eq }, et la section suivante explore plus en détail le coefficient de vitesse.

Rapport d’amortissement : symbole et formule

Le coefficient sur le terme de vitesse dans l’équation du facteur d’amortissement est {eq}2 \zeta \omega_0 {/eq}. N’oubliez pas qu’avant de réécrire l’équation du facteur d’amortissement en termes de {eq}\omega_0 {/eq}, le coefficient était {eq}\frac{c}{m} {/eq}. Pour écrire ceci en termes de vitesse angulaire :

{eq}\frac{c}{m} \rightarrow \sqrt(\frac{k}{m})\frac{c}{\sqrt(km)} = \omega_0 \frac{c}{2\sqrt( km)} {/éq}.

Le 2 au dénominateur du terme fractionnaire annule le 2 dans {eq}2 \zeta \omega_0 {/eq}. Ce terme fractionnaire, {eq}\frac{c}{2\sqrt(km)} {/eq}, est l’ équation du rapport d’amortissement, et cette formule de rapport d’amortissement est remplacée par la lettre grecque zeta, {eq}\zeta { /eq}, appelé symbole du rapport d’amortissement. Pourquoi {eq}\zeta {/eq} est-il appelé le rapport d’amortissement alors qu’il ne semble pas être un rapport ? Pour comprendre pourquoi {eq}\zeta {/eq} est considéré comme un rapport, écrivez le dénominateur sous la forme {eq}c_c {/eq}. Écrit de cette façon, {eq}\zeta = \frac{c}{c_c} {/eq} où {eq}c {/eq} est l’amortissement réel du système et {eq}c_c {/eq} est l’amortissement critique amortissement du système.

Sous-, sur-amorti et critique

Le taux d’amortissement peut prendre trois formes:

1) Le taux d’amortissement peut être supérieur à 1. Si {eq}c > c_c {/eq}, le système est suramorti. Par exemple, imaginez que vous comprimez un ressort très rigide. Le ressort étant très rigide, lorsque la compression est relâchée, le ressort revient très lentement à sa position de départ et y reste sans rebondir. Un système suramorti évolue lentement vers l’équilibre.

2) Le taux d’amortissement peut être inférieur à 1. Si {eq}c < c_c {/eq}, le système est sous-amorti. Revenons à l’exemple du ressort comprimé mais imaginez cette fois un ressort très élastique. Lorsque ce ressort est comprimé, il oscille autour de l’équilibre et revient rapidement à sa position de repos. C’est le comportement d’un système sous-amorti.

3) Le rapport d’amortissement pourrait être de 1. Si {eq}c = c_c {/eq}, le système est dit à amortissement critique. Imaginez une dernière fois comprimer un ressort. Cette fois, lorsque le ressort se relâche, il revient très rapidement à sa position de repos sans osciller. C’est le comportement d’un système à amortissement critique.

Coefficient d’amortissement : formule et unités

Il est temps de revenir un peu en arrière. Revenons à la dérivation du taux d’amortissement,

{eq}\frac{c}{m} \rightarrow \sqrt(\frac{k}{m})\frac{c}{\sqrt(km)} = \omega_0 \frac{c}{2\sqrt( km)} {/éq}.

Le taux d’amortissement est une façon de décrire le comportement oscillatoire d’un système. Une autre façon de décrire ce comportement consiste à utiliser le coefficient d’amortissement, qui s’écrit en utilisant la lettre grecque gamma, {eq}\gamma {/eq}. Le coefficient d’amortissement est dérivé de la première étape de la dérivation du taux d’amortissement, {eq}\sqrt(\frac{k}{m})\frac{c}{\sqrt(km)} {/eq}. Au lieu de conserver le terme de fréquence angulaire, {eq}\sqrt(\frac{k}{m}) {/eq}, pour écrire le coefficient de vitesse en termes de {eq}\omega_0 {/eq}, cette expression peut être simplifié:

{eq}\sqrt(\frac{k}{m})\frac{c}{\sqrt(km)} = \frac{c}{2m} {/eq}.

Dans cette forme simplifiée, la formule du coefficient d’amortissement est {eq}\frac{c}{2m} = \gamma {/eq}, et l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique peut s’écrire {eq}\frac{d ^2x}{dt^2} + 2 \gamma \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0 {/eq}. Contrairement au taux d’amortissement, qui est une quantité sans unité, les unités du coefficient d’amortissement SI sont Ns/m, ce qui signifie Newton seconde par mètre.


Cet exemple montre comment trouver le coefficient d’amortissement et comment calculer le taux d’amortissement pour un système présentant un mouvement harmonique simple.

Exemple : Deux ingénieurs conçoivent un nouveau jeu de flipper. Ils veulent étudier différentes sources pour trouver celle qui leur convient. Ils conviennent qu’ils doivent résoudre l’équation du mouvement, mais ils ne peuvent pas décider s’ils doivent utiliser le coefficient d’amortissement ou le rapport d’amortissement. Utilisez les données qu’ils ont collectées pour les aider à mettre fin à leur dispute. La figure 3 est un tableau de leurs données.

Figure 3:

Constante de ressort Masse Amortissement réel
1,5 N/m 0,04 kg 2.1

1) Calculer le taux d’amortissement :

La formule du rapport d’amortissement est {eq}\zeta = \frac{c}{2\sqrt(km)} {/eq}. En branchant les valeurs appropriées de la figure 3, on obtient {eq}\zeta = \frac{2.1}{2\sqrt(1.5*0.04)} = 4,286 {/eq}.

2) Calculer le coefficient d’amortissement:

La formule du coefficient d’amortissement est {eq}\gamma = \frac{c}{2m} {/eq}. En branchant les valeurs appropriées de la figure 3, on obtient {eq}\gamma = \frac{2.1}{2*0.04} = 26,26 {/eq} Ns/m.

Pour étudier leur ressort, ils peuvent utiliser l’une ou l’autre valeur à condition d’utiliser l’équation de mouvement appropriée et de ne pas perdre la trace de leurs unités.


Une oscillation est un mouvement de va-et-vient autour d’un point d’équilibre qui est représenté mathématiquement par une onde sinusoïdale ou cosinusoïdale. Une onde sinusoïdale normale est un exemple d’ oscillation non amortie car son amplitude reste constante, et une oscillation amortie est une onde dont l’amplitude diminue jusqu’à zéro. Qu’est-ce que l’amortissement? L’amortissement est une limitation des vibrations. La rapidité avec laquelle les vibrations d’une onde amortie cessent dépend du taux d’amortissement ou du coefficient d’amortissement, et les taux d’amortissement augmentent avec des coefficients d’amortissement plus élevés. L’ équation du rapport d’amortissement est une quantité dimensionnelle qui relie l’amortissement réel à l’amortissement critique du système, et la formule du rapport d’amortissement est représentée par le symbole du rapport d’amortissement, {eq}\zeta {/eq}. L’amortissement peut également être exprimé en termes d’ équation du facteur d’amortissement. L’amortissement dépend également de la constante de ressort du matériau, et des valeurs de constante de ressort plus élevées augmenteront la fréquence naturelle à laquelle un ressort oscillera.

La formule du coefficient d’amortissement implique uniquement la masse de l’objet et l’amortissement réel du système, et les unités du coefficient d’amortissement sont Ns/m. Un système peut être suramorti si le rapport d’amortissement est supérieur à 1, et ce système reviendra lentement à l’équilibre sans osciller. Si le rapport est inférieur à 1, le système est sous-amorti et oscillera rapidement pour se reposer. Si le rapport est de 1, le système est amorti de manière critique et le système reviendra rapidement au repos sans osciller. Comment trouver le coefficient d’amortissement et le taux d’amortissement nécessite de connaître l’amortissement réel du système, la constante du ressort et la masse.



Transcription vidéo

Qu’est-ce qu’une oscillation harmonique amortie?

Quand nous étions enfants, beaucoup d’entre nous se balançaient sur les balançoires des aires de jeux. Le mouvement de va-et-vient d’une balançoire s’appelle une oscillation. Nous rencontrons des mouvements oscillatoires dans de nombreux systèmes de la vie quotidienne. Outre les balançoires d’un terrain de jeu, des exemples courants incluent le pendule d’une horloge grand-père et la suspension d’une voiture.

Maintenant, imaginez que vous poussez quelqu’un sur une balançoire. En l’absence de friction, comme la traînée aérodynamique ou la friction dans les accouplements, une seule poussée suffit à maintenir le swing pour toujours. Cependant, en réalité, le mouvement est oscillatoire, mais l’amplitude de l’oscillation diminue avec le temps pour finalement atteindre zéro. Ce type d’oscillation est appelé oscillation harmonique amortie.

Équation

Pour un système mécanique, il est facile de comprendre les oscillations harmoniques amorties en étudiant un système ressort-masse-amortisseur. Comme son nom l’indique, un système ressort-masse-amortisseur à un seul degré de liberté (SDOF) se compose d’un ressort, d’une masse et d’un amortisseur. Le mouvement est défini par une seule coordonnée indépendante, comme le temps.


Système ressort-masse-amortisseur à un seul degré de liberté.
m est la masse, k est la constante du ressort et c est le coefficient d’amortissement.

Dans ce système, m désigne la masse en mouvement, k désigne la constante du ressort et c le coefficient d’amortissement. La constante du ressort représente la force exercée par le ressort lorsqu’il est comprimé sur une unité de longueur. Le coefficient d’amortissement est la force exercée par l’amortisseur lorsque la masse se déplace à une vitesse unitaire.

La masse est libre de se déplacer le long d’un axe, mais chaque fois qu’elle bouge, son mouvement est combattu par le ressort et l’amortisseur. Dans la figure illustrée, imaginez maintenant que la masse descend d’une certaine distance. Il comprime le ressort et déplace l’amortisseur de la même distance. Le ressort stocke et libère de l’énergie pendant un cycle. L’amortisseur absorbe uniquement l’énergie et ne la restitue pas à la masse.

L’équation du système est appelée équation différentielle ordinaire du second ordre et est :

nul

Ici,

fréquence naturelle

Et s’appelle la fréquence naturelle en radians, et

rapport d'amortissement

C’est ce qu’on appelle le taux d’amortissement.

La fréquence naturelle est la fréquence d’oscillation du système s’il est perturbé (exploité ou heurté) par rapport au repos. Pensez à un diapason: si on le tape sur une surface, le diapason vibre à une fréquence fixe. Cette fréquence est la fréquence naturelle du diapason.

Sous-, sur-amorti et critique

Le taux d’amortissement détermine la manière dont les oscillations du système tendent vers zéro. Pour comprendre le taux d’amortissement, utilisons une analogie avec les portes.

Tout d’abord, considérons les portes battantes comme celles que l’on voit dans les cuisines des restaurants ou dans les vieux westerns. Lorsque quelqu’un pousse la porte et la libère, les portes reculent et dépassent le point de repos dans l’autre direction. Ce mouvement de va-et-vient se produit plusieurs fois avant que les portes ne s’arrêtent complètement. Ce type de comportement oscillatoire se produit lorsque le système a un taux d’amortissement inférieur à 1. De tels systèmes sont appelés systèmes sous-amortis.

Considérons ensuite une porte dans un bâtiment moderne avec un dashpot fixé au coin supérieur. Lorsque cette porte est ouverte et relâchée, elle revient lentement en position fermée et n’oscille pas d’avant en arrière. Ce système est appelé système suramorti et possède un taux d’amortissement supérieur à 1.

Au milieu, lorsque le taux d’amortissement est de 1, le système est dit à amortissement critique. Ce serait comme une porte sans dashpot, claquant rapidement pour se reposer sans osciller.

Le taux d’amortissement peut également être représenté par le rapport entre le coefficient d’amortissement réel et le coefficient d’amortissement critique. Donc,

nul

où,

nul

Exemple

Regardons un exemple. Un amortisseur-ressort-masse SDOF a les caractéristiques suivantes: m = 10kg, k =100 N/ m et c = 1 Ns/ m. (Rappelons que Ns est la seconde Newton, équivalente à un kilogramme-mètre par seconde (kg * m/s)).

Quel est son taux d’amortissement?

Coefficient d’amortissement critique = 2 x racine carrée de (kxm) = 2 x racine carrée de (100 x 10) = 63,2 Ns/m

Puisque le coefficient d’amortissement réel est de 1 Ns/ m, le rapport d’amortissement = (1/63,2), ce qui est bien inférieur à 1. Le système est donc sous-amorti et oscillera d’avant en arrière avant de s’arrêter.

Résumé de la leçon

Lorsque le mouvement est oscillatoire, l’amplitude de l’oscillation diminue avec le temps en raison du frottement, pour finalement atteindre zéro. Ce type d’oscillation est appelé oscillation harmonique amortie. Cela peut être compris en utilisant un système ressort-masse-amortisseur à un seul degré de liberté (SDOF) composé d’un ressort, d’une masse et d’un amortisseur.

L’équation déterminante du mouvement d’un tel système est une équation différentielle ordinaire du second ordre, le comportement du système dépendant de la masse en mouvement, de la constante du ressort et du coefficient d’amortissement.

nul

Un système amorti revient au repos de différentes manières, qui sont déterminées par le taux d’amortissement. Un taux d’amortissement:

  • supérieur à 1 indique un système suramorti, qui revient lentement au repos sans oscillations.
  • moins de 1 indique un système sous-amorti, qui revient au repos de manière oscillatoire.
  • égal à 1 est un système à amortissement critique, qui revient rapidement au repos sans oscillation.


Articles Similaires