Produit croisé de deux vecteurs Formule, équation et exemples

Publié le 18 janvier, 2024

Scalaires et vecteurs

Avant d’aborder les multiplications avec des vecteurs, il convient de revoir ce qu’est un vecteur. Pour ce faire, il est préférable de partir d’une idée plus simple: la droite numérique.

Scalaires

La droite numérique réelle est un ensemble ordonné de nombres. Tout nombre sur la droite numérique comporte des nombres plus grands à sa droite et des nombres plus petits à sa gauche. Tous ces nombres pouvant être localisés sur une droite numérique peuvent être appelés scalaires. Les scalaires ont une magnitude, qui est leur valeur numérique.

Vecteurs

Vous pouvez en fait avoir plus d’une droite numérique. Supposons que vous ayez 2 droites numériques et que vous les organisez de manière à ce qu’elles soient perpendiculaires l’une à l’autre et se croisent en 0. Comme ceci.

Paire d’axes horizontaux et verticaux

Un axe horizontal traversé perpendiculairement à zéro par un axe vertical

Vous pouvez désormais avoir des points sur une plaine plutôt que des points sur une droite numérique. Chaque point est décrit soit par deux coordonnées, la première correspondant à l’ axe des x et la seconde correspondant à l’ axe des y. Par exemple, cette image montre le point (6, 2) :

Point (6,2) en plaine

Un point sur la plaine avec une coordonnée x de 6 et une coordonnée y de 2

Une autre façon de représenter ce point est par un vecteur, comme ceci :

Vecteur (6,2)

Une paire d'axes et une flèche qui pointe vers (6,2)

Les nombres 6 et 2 sont les composantes du vecteur.

La grandeur des vecteurs

La magnitude d’un vecteur {eq}\vec{V}=(x,y) {/eq} peut être calculée en utilisant les composants, comme ceci {eq}|\vec{V}|=\sqrt{x^2 + y^2} {/éq}.

D’où {eq}|\vec{A}|=\sqrt{6^2 + 2^2}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40} {/eq}.

Vecteurs d’unités

Un vecteur unitaire est un vecteur de magnitude égale à 1. Voici quelques exemples :

Magnitude du vecteur

{eq}\vec{X}=(1,0) {/eq}

{eq}\sqrt{1^2 + 0^2} {/eq}

{eq}\vec{Y}=(0,1) {/eq}

{eq}\sqrt{0^2 + 1^2} {/eq}

{eq}\vec{T}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) {/eq}

{eq}\sqrt{\left (\ frac{\sqrt2}{2} \right )^2 + \left (\frac{\sqrt2}{2} \right )^2}=1 {/eq}

Direction du vecteur

Regardez ces vecteurs : {eq}\vec{A}=(6,2); \vec{B}=(-6,2); \vec{C}=(-6,-2); \vec{D}=(6,-2); \vec{E}=(2,6); \vec{F}=(2,-6); \vec{G}=(-2,-6); \vec{H}=(-2,6) {/eq}

Ils ont tous la même grandeur, alors qu’est-ce qui est différent entre eux? Voici le graphique les représentant tous.

Représentation des six vecteurs

Une paire d'axes montrant des flèches représentant les six vecteurs

Il est clair qu’ils diffèrent dans leur direction.

En résumé: les vecteurs ont une ampleur et une direction ; les scalaires n’ont qu’une magnitude ».

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Opérer avec des vecteurs

Tout comme les scalaires (ou nombres réels), les vecteurs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés ou trouver leur inverse multiplicatif. Cette leçon se concentre sur la multiplication. Il existe trois types de multiplications de vecteurs: 1) multiplier un vecteur par un scalaire ; 2) produit scalaire ou interne ou scalaire de deux vecteurs ; 3) vectoriel ou produit croisé de deux vecteurs. Cette leçon explore le produit croisé, mais quelques références seront faites aux autres types de multiplications juste pour clarifier en quoi elles diffèrent.

Pour débloquer cette leçon, vous devez être membre d’


Qu’est-ce qu’un produit croisé?

Un vecteur est une quantité qui a à la fois une ampleur (taille numérique) et une direction. Les vecteurs sont des choses comme la vitesse, le déplacement, la force, le champ électrique. Ces quantités ont toujours une direction. Un déplacement n’est pas seulement de 3 mètres, c’est de 3 mètres vers l’ouest. En revanche, un scalaire (par exemple la température) n’a qu’une valeur numérique ; il n’a aucune direction.

Lorsque nous multiplions deux vecteurs ensemble, le résultat peut être soit un vecteur, soit un scalaire. La force multipliée par le déplacement est égale au travail. Et le travail est un scalaire. Deux vecteurs multipliés ensemble vous donnent un scalaire. Mais un champ magnétique multiplié par la vitesse (lorsqu’il est également multiplié par la charge) est égal à la force. Donc dans cette équation, deux vecteurs multipliés ensemble vous donnent un vecteur.


Deux vecteurs multipliés peuvent égaler un vecteur ou un scalaire
Équations vectorielles et scalaires

Lorsque le résultat de la multiplication de deux vecteurs est un scalaire, nous venons de compléter un produit scalaire. Mais si le résultat est un vecteur, alors nous avons un produit vectoriel. Un produit vectoriel consiste à multiplier un vecteur par la composante du deuxième vecteur qui agit à 90 degrés par rapport au premier vecteur.

Pour revenir à l’exemple du magnétisme, la force exercée sur une charge en mouvement à l’intérieur d’un champ magnétique externe est proportionnelle au produit vectoriel entre le vecteur champ magnétique et le vecteur vitesse de la charge. En d’autres termes, il est proportionnel au vecteur champ magnétique multiplié par la composante de la vitesse qui agit à 90 degrés par rapport au vecteur champ magnétique. Si la vitesse est diagonale, se déplaçant disons à 30 degrés, vous devrez multiplier la vitesse par le sinus 30 pour obtenir la composante de la vitesse qui agit à 90 degrés par rapport au champ magnétique. C’est pourquoi l’équation de cette force magnétique contient un « sinus ».

Multiplication des vecteurs

Voici les trois types de multiplications impliquant des vecteurs :

Type de produit Produit de Résulte en
Un vecteur par un scalaire Un scalaire multiplié par un vecteur Un autre vecteur avec la même direction mais une magnitude scalaire fois plus longue que le vecteur d’origine
Produit scalaire de deux vecteurs Deux vecteurs Un scalaire
Produit croisé de deux vecteurs Deux vecteurs Un autre vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d’origine

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Étant donné le vecteur {eq}\vec{V}=(x_v, y_v) {/eq} et le scalaire s, la multiplication {eq}s\vec{V}=s(x_v, y_v) = (sx_v, sy_v) {/ éq}

Par exemple:

Si {eq}\vec{V}=(7, 3) {/eq} et le scalaire s = 2, alors {eq}s\vec{V}=2(7, 3) = (14, 6) { /éq}

Ce produit peut être représenté comme suit:

Un scalaire multiplié par un vecteur

Une flèche pointant vers le point (7, 3) et une flèche pointillée pointant vers (14, 6)

Notez que si le scalaire est négatif, le vecteur change dans la direction opposée. Par exemple:

{eq}\vec{V}=(-3, 2) {/eq} et s = -2, alors {eq}s\vec{V}=-2(-3, 2) = (6, -4 ){/éq}

Produit d’un scalaire négatif par un vecteur

Deux flèches pointant dans des directions opposées, l’une est deux fois plus longue que l’autre

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Le produit scalaire ou scalaire de deux vecteurs donne comme résultat un scalaire. Voici comment calculer ce produit scalaire.

Étant donné {eq}\vec{V}=(x_v, y_v) {/eq} et {eq}\vec{W}=(x_w, y_w) {/eq}

{eq}\vec{V}\cdot \vec{W}=(x_v, y_v)\cdot (x_w, y_w) = x_v\cdot x_w + y_v\cdot y_w {/eq}

Par exemple : si {eq}\vec{V}=(2, 2) {/eq} et {eq}\vec{W}=(5, 0) {/eq}

{eq}\vec{V}\cdot \vec{W}=(2, 2)\cdot (5, 0) = 2\cdot 5 +2\cdot 0=10+0=10 {/eq}

Notez que {eq}\vec{V}\cdot \vec{W}=\vec{W}\cdot \vec{V} {/eq} car il s’agit simplement de la multiplication des composants correspondants. En effet : {eq}\vec{W}\cdot \vec{V}=(5, 0)\cdot (2, 2) = 5\cdot 2+0\cdot 2=10+0=10 {/eq } qui est la même valeur obtenue ci-dessus.

L’interprétation géométrique du produit scalaire est l’aire d’un carré formé par le vecteur {eq}\vec{W} {/eq} et la projection du vecteur {eq}\vec{V} {/eq} sur {eq} \vec{W} {/eq}.

Interprétation géométrique du produit scalaire

Un rectangle formé par un vecteur et la projection de l'autre

Notez que la projection de {eq}\vec{V} {/eq} est égale au cosinus de l’angle entre les vecteurs. Le produit scalaire peut donc également être calculé comme suit :

{eq}\vec{V}\cdot \vec{W}=|\vec{V}| |\vec{W}| cos \thêta {/eq}

où {eq}\theta {/eq} est l’angle entre les vecteurs. Par exemple, l’angle entre les vecteurs {eq}\vec{V}=(2, 2) {/eq} et {eq}\vec{W}=(5, 0) {/eq} est de 45{eq}^ {o} {/éq}. Donc:

{eq}|\vec{V}|=\sqrt{2^2 + 2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} {/eq}

{eq}|\vec{W}|=\sqrt{5^2 + 0^2}=5 {/eq}

{eq}cos \theta=cos 45 ^{o}=\frac{\sqrt{2}}{2} {/eq}

Alors:

{eq}\vec{V}\cdot \vec{W}=2\sqrt{2}\cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10 {/eq}

qui est la même valeur obtenue auparavant. Le produit scalaire ou scalaire est donc commutatif.

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Pensez à un motard poussant les pédales du vélo vers le bas pour faire tourner les roues et avancer. Il y a ici deux grandeurs vectorielles: la poussée vers le bas et la rotation des roues. Mais le résultat est un mouvement vers l’avant, qui est une troisième quantité vectorielle. Ce vecteur produit est perpendiculaire aux deux autres. Ainsi, un système de coordonnées 3D est nécessaire pour représenter le produit vectoriel. Par exemple, dans cette image les deux vecteurs rouges peuvent représenter le pédalage et la rotation de la roue ; le vecteur bleu représente le mouvement vers l’avant du vélo.

Produit croisé de deux vecteurs

Deux flèches rouges le long de deux axes et une flèche bleue le long du troisième axe

Équation de produits croisés

Étant donné {eq}\vec{V}=(x_v, y_v) {/eq} et {eq}\vec{W}=(x_w, y_w) {/eq} les vecteurs peuvent s’écrire : {eq}\vec {V}=(x_v, y_v, 0) {/eq} et {eq}\vec{W}=(x_w, y_w, 0) {/eq}

Les composantes du vecteur {eq}\vec{R} {/eq} qui est le produit croisé de

{eq}\vec{V} {/eq} et {eq}\vec{W} {/eq} peuvent être calculés comme : {eq}\vec{R}=\vec{V} \times \vec{W } = (r_x, r_y, r_z){/eq} où les composants sont :

{eq}r_x = y_v \cdot 0 – 0 \cdot y_w\\ r_y = 0 \cdot x_w – x_v \cdot 0\\ r_z = x_v \cdot y_w – y_v \cdot x_w {/eq} comme vous pouvez le voir, le le résultat est un vecteur.

Exemple:

{eq}\vec{V}=(1, 2) {/eq}

{eq}\vec{W}=(-3, 5){/eq}

{eq}\vec{R}=\vec{V} \times \vec{W} = (y_v \cdot 0 – 0 \cdot y_w, 0 \cdot x_w – x_v \cdot 0, x_v \cdot y_w – y_v \ cdot x_w)=2 \cdot 0 – 0 \cdot 5, 0 \cdot (-3) – 1 \cdot 0, 1 \cdot 5 – 2 \cdot (-3)= (0, 0, 11){/eq }

Voici la représentation : Les vecteurs {eq}\vec{V}=(1, 2) {/eq} et {eq}\vec{W}=(-3, 5){/eq} sont représentés en rouge et sont dans un avion. Le vecteur produit vectoriel est représenté en bleu et il est perpendiculaire au plan des deux autres vecteurs.

Produit vectoriel (1, 2) X (-3, 5)

Deux flèches rouges sur un plan et une flèche bleue perpendiculaire au plan

Interprétation géométrique du produit vectoriel

Le vecteur ou produit vectoriel entre deux vecteurs a également une interprétation géométrique. La grandeur du produit vectoriel représente l’aire du parallélogramme formé par les vecteurs.

Parallélogramme formé de deux vecteurs

Un parallélogramme formé de deux vecteurs

L’ampleur du produit croisé

L’aire d’un parallélogramme est la base x la hauteur.

La hauteur est affichée dans l’image et peut être calculée comme suit : {eq}|\vec{u}|\cdot sin \theta {/eq}

où {eq}\theta {/eq} est l’angle entre les vecteurs.

Hauteur d’un parallélogramme

Un parallélogramme formé de deux vecteurs dont la hauteur est marquée

L’angle entre ces vecteurs est de 57,53 {eq}^{o} {/eq} et sin 57,53{eq}^{o} = 0,844 {/eq}

{eq}|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} {/eq}

{eq}|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\sqrt{34} {/eq}

Alors:

{eq}|\vec{u\times v}|=|\vec{u}||\vec{v}| {/eq} sin 57,53{eq}^{o} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{34}\cdot 0,844 = 11 {/eq}

qui est exactement la grandeur du vecteur de produit vectoriel (0, 0, 11) calculé ci-dessus.

Règle de la main droite pour le produit croisé des vecteurs

En utilisant la formule pour l’ampleur du produit vectoriel {eq}|\vec{u\times v}|=|\vec{u}||\vec{v}| {/eq} sin {eq}\theta {/eq} est plus simple que d’utiliser la formule vectorielle. Mais comment trouver la direction du vecteur résultant? La réponse est d’utiliser la règle de la main droite.

L’image montre comment cela fonctionne. Pour trouver la direction du produit vectoriel {eq}\vec{a} \times \vec{b} {/eq} placez votre pouce le long de {eq}\vec{a} {/eq} et votre index le long de {eq} \vec{b} {/eq}. Votre majeur sera pointé dans la direction du produit vectoriel.

Règle de la main droite

Une main montrant trois doigts le long de deux vecteurs et du vecteur de produit croisé

Produit croisé utilisant des déterminants

Tous les exemples ci-dessus calculaient le produit vectoriel de vecteurs en 2D, c’est-à-dire des vecteurs qui n’avaient que 2 composantes. La troisième composante était 0. Mais le produit vectoriel est-il calculé si la troisième composante n’est pas 0 ? Pour ce faire, une matrice est formée avec les deux vecteurs ; le déterminant de cette matrice est le produit vectoriel.

Ensuite, pour multiplier par croisement {eq}\vec{u}=(x_u, y_u, z_u) {/eq} et {eq}\vec{v}=(x_v, y_v, z_v) {/eq} forment la matrice { eq}\begin{pmatrix} x & x & z\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ \end{pmatrix} {/eq}

Alors {eq}\vec{u}\times \vec{v}=(y_u\cdot z_v -z_u\cdot y_v, z_u\cdot x_v-x_u\cdot z_v, x_u\cdot y_v- y_u\cdot x_v) {/ éq}

Exemple : {eq}(0, 2, -1)\times (-3, 5, -2) = det \begin{pmatrix} x & x & z\\ 0 & 2 & -1\\ -3 & 5 & -2\\ \end{pmatrix} =(2\cdot (-2) -(-1)\cdot 5, (-1)\cdot (-3)-0\cdot (-2), 0\cdot 5- 2\cdot (-3)) = (1, 3, 6) {/eq}

Produits croisés de 2 vecteurs en 3D

Représentation en trois D du produit croisé de deux vecteurs


1) Propriété anticommutative

{eq}\vec{V} \times \vec{w} = – \vec{V} \times \vec{W} {/eq}

Le produit vectoriel {eq}\vec{V} \times \vec{W} =(1,2) \times (-3,5) = (0, 0, 11){/eq} a été calculé ci-dessus.

Le produit croisé {eq}\vec{W} \times \vec{V} =(-3,5)\times (1,2)=(-3,5,0)\times (1,2,0) = (5 \cdot 0 – 0\cdot 2, 1 \cdot 0 – (-3) \cdot 0, (-3) \cdot 2 – 5\cdot 1)= (0, 0, -11){/eq }

Voici une représentation graphique de {eq}\vec{V} \times \vec{W} {/eq} et {eq}\vec{W} \times \vec{V} {/eq}

Propriété anticommutative du produit vectoriel

Un plan contenant les vecteurs V et W, et deux vecteurs de même ampleur : l'un pointant vers le haut et l'autre vers le bas

Comme prévu, la magnitude est nécessairement égale, étant donné qu’elle vaut {eq}|\vec{v}| |\vec{w}| sin \theta {/eq} mais la direction du vecteur de produit vectoriel dépend de l’ordre des facteurs vectoriels. La propriété d’obtenir l’élément négatif lors de la commutation des facteurs est appelée anticommutative.

2) Le produit vectoriel d’un vecteur multiplié par lui-même est de 0

{eq}\vec{V} \times \vec{v} = 0 {/eq}

Démonstration : étant donné {eq}\vec{v} = (a, b, c) {/eq} alors {eq}(a, b, c)\times (a, b, c) = (bc-cb, ca -ac, ab-ba)=0 {/eq}

Exemple : {eq}(-1, 2, 3)\times (-1, 2, 3) = (2\cdot 3-3\cdot 2, 3\cdot (-1)-(-1)\cdot 3, (-1)\cdot 2-2\cdot (-1))=(0,00) {/eq}

3) Produit double croisé

{eq}\vec{A} \times (\vec{B}\times \vec{C} )= \vec{B}\cdot (\vec{A}\cdot \vec{C})- \vec{ C}\cdot (\vec{A}\cdot \vec{B}) {/eq}

Exemple : étant donné {eq}\vec{A}= (1, 2, -2); \vec{B}= (0, 1, -2);\vec{C}= (-1, 0, 1){/eq}

{eq}\vec{A}\cdot \vec{C}=(1, 2, -2)\cdot (-1, 0, 1)=-1+0+(-2)=-3 {/eq }

{eq}\vec{B}\cdot (\vec{A}\cdot \vec{C})=(0, 1, -2)(-3) = (0, -3, 6) {/eq}

{eq}(\vec{A}\cdot \vec{B}=(1, 2, -2)\cdot (0, 1, -2)=0+2+4=6 {/eq}

{eq}\vec{C}\cdot (\vec{A}\cdot \vec{B})=(-1, 0, 1)(6) = (-6, 0, 6) {/eq}

{eq}\vec{A} \times (\vec{B}\times \vec{C} )= (0, -3, 6)- (-6, 0, 6) = (6,-3,0 ) {/éq}


Champ magnétique

L’intensité du champ magnétique est la force qu’une particule chargée en mouvement subit dans un champ magnétique. Il peut être calculé comme suit :

{eq}\vec{F} =q\vec{v}\times \vec{B} {/eq} où {eq}\vec{B} {/eq} est le champ magnétique, {eq}\vec{ v} {/eq} est la vitesse de la charge et q est la quantité de charge.

Il en résulte qu’il n’y a pas de force magnétique sur les charges statiques.

Exemple:

Une particule alpha {eq}q=3,5\times 10^{-19}C {/eq} se déplace à travers un champ magnétique uniforme parallèle à l’axe z positif dont la magnitude est de 2,0 T. Quelle est la force magnétique sur la bêta -particule lorsqu’elle se déplace dans la direction x négative avec une vitesse de {eq}\vec{v}=-4,0\times 10^4m/s {/eq}

Solution: le champ magnétique et la vitesse de la particule chargée forment un angle droit.

péché 90 {eq}^{o} {/eq} = 1

D’où : {eq}|\vec{F}| =q\cdot |\vec{v}|\cdot |\vec{B}| sin (90^{o})=|3,5\times 10^{-19}|\cdot |-4,0\times 10^4|\cdot 2,0\cdot 1 = 2,8\times 10^{-14} {/eq } N

La direction peut être déterminée avec la règle de la main droite: placez le pouce dans le sens de l’axe x négatif et l’index dans le sens de l’axe z positif. Le majeur pointe dans la direction positive de l’axe y.

Direction de la force magnétique

Trois axes D montrant les vecteurs unitaires le long de l'axe x négatif et des axes y et z positifs

Couple

Le couple est une force qui met quelque chose en rotation. Regardez cette clé et deux forces qui lui sont appliquées :

Couple

Une clé sur laquelle sont appliquées deux forces

Pour savoir laquelle des deux forces desserrera le plus facilement le boulon serré, un produit vectoriel entre la distance jusqu’au point de rotation et la force peut être calculé. Ce produit croisé est appelé couple.

{eq}\vec{\tau} =\vec{r}\times \vec{F} {/eq}

Appliqués aux deux forces, les deux couples seraient:

{eq}\vec{\tau}_A =\vec{r_{OA}}\times \vec{F_A} {/eq}

{eq}\vec{\tau}_B =\vec{r_{OB}}\times \vec{F_B} {/eq}

Maintenant, il a été postulé que {eq}\vec{F_A} = \vec{F_B} {/eq}

et {eq}\vec{r_{OA}} < \vec{r_{OB}} {/eq}

D’où : {eq}|\vec{\tau}_A| < |\vec{\tau}_B| {/éq}

Cela signifie qu’une force appliquée sur B ferait tourner la clé plus facilement que la même force appliquée sur A.


Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs donnés. Une matrice est nécessaire pour calculer le produit vectoriel.



Calculer la force magnétique
Exemple de produits croisés

Équation pour le produit croisé

L’équation pour calculer un produit vectoriel est assez simple. Le produit vectoriel entre les vecteurs A et B est égal à la norme du vecteur A multipliée par la norme du vecteur B multipliée par le sinus de l’angle qui les sépare. Donc, si vous voulez le produit croisé du champ magnétique et de la vitesse, comme je l’ai dit plus tôt, vous prendriez la magnitude du champ magnétique, la multiplieriez par la magnitude de la vitesse, et multiplieriez cela par le sinus de l’angle entre le champ magnétique. et les vecteurs vitesse. Cela vous donnera l’ampleur de votre réponse. Mais votre réponse est, en soi, un vecteur. Alors, quelle est la direction de votre réponse?


Équation pour un produit vectoriel
L'équation d'un produit croisé

Pour obtenir la direction, vous devez utiliser une règle de la main droite. Je veux que tu me donnes un coup de pouce avec ta main droite. Lorsque vous faites cela, vos doigts s’enroulent dans une direction particulière. Si vous pointez votre pouce vers l’écran et regardez le dos de vos doigts, ils s’enroulent par exemple dans le sens des aiguilles d’une montre.

Voici un diagramme des deux vecteurs que nous multiplions ensemble :


Diagramme vectoriel
diagramme vectoriel par exemple

Nous multiplions le vecteur A par le vecteur B. Pour déterminer la direction de votre réponse finale, utilisez la courbe de vos doigts pour pousser (ou enrouler) le vecteur A vers le vecteur B. Lorsque vous faites cela, votre pouce pointe hors de la page, et cette direction est la direction de votre réponse finale.


Utilisez la règle de la main droite pour vous diriger
Direction du vecteur

Une chose importante à noter ici est que l’ordre dans lequel vous écrivez votre produit vectoriel n’a pas d’impact sur la réponse numérique, mais il a un impact sur la direction. A -cross- B vous donne une direction hors de la page. Mais si vous enrouliez vos doigts dans le sens opposé, pour B -croix- A, vous auriez eu une direction vers la page. Donc, contrairement à la plupart des multiplications, où l’ordre dans lequel vous écrivez les deux choses que vous multipliez ensemble n’a pas d’importance, c’est le cas avec les produits croisés.


L’ordre de multiplication affecte la direction
La multiplication affecte la direction

Exemples de calculs

Ce serait peut-être plus facile en utilisant un exemple. Disons que nous essayons de multiplier un vecteur de champ magnétique, v, par un vecteur vitesse, B. Le vecteur B pointe vers le haut et le vecteur v pointe en diagonale vers le haut et vers la droite, à un angle de 25 degrés par rapport au vecteur B. Si la magnitude du vecteur B est de 30 teslas et la magnitude du vecteur v est de 8 mètres par seconde, quel est le produit vectoriel de v et B?

Tout d’abord, écrivons ce que nous savons. B est égal à 30 teslas, et v est égal à 8 mètres par seconde, et l’angle entre les vecteurs, thêta, est égal à 25 degrés. Donc, pour connaître l’ampleur du produit vectoriel, il suffit d’insérer des nombres dans l’équation et de la résoudre. 8 multiplié par 30 multiplié par sinus 25 nous donne une valeur de 101,4 tesla mètres par seconde.


Trouver la direction d’un produit croisé
image pour déterminer la direction

Mais qu’en est-il de la direction? Eh bien, en regardant le diagramme, levez le pouce et utilisez vos doigts pour trouver le vecteur v sur le vecteur B. Si vous faites cela, votre pouce pointe hors de l’écran (ou hors de la page). Notre réponse finale est donc de 101,4 tesla mètres par seconde hors de la page.

Et c’est tout; avaient fini.

Résumé de la leçon

Un vecteur est une quantité qui a à la fois une ampleur (taille numérique) et une direction. Lorsque nous multiplions deux vecteurs ensemble, le résultat peut être soit un vecteur, soit un scalaire. Lorsque le résultat de la multiplication de deux vecteurs est un scalaire, cette multiplication est un produit scalaire. Mais si le résultat est un vecteur, alors la multiplication est un produit vectoriel. Un produit vectoriel consiste à multiplier un vecteur par la composante du deuxième vecteur qui agit à 90 degrés par rapport au premier vecteur.

L’équation pour calculer un produit vectoriel est assez simple. Le produit vectoriel entre les vecteurs A et B est égal à la norme du vecteur A multipliée par la norme du vecteur B multipliée par le sinus de l’angle qui les sépare. Cela vous donne l’ampleur de votre réponse. Mais votre réponse est un vecteur en soi, vous devez donc également trouver la direction de votre réponse.

Pour obtenir la direction, vous devez utiliser une règle de la main droite. Si vous levez le pouce avec votre main droite, vous pouvez utiliser vos doigts pour pousser (ou « enrouler » ou « boucler ») le vecteur A vers le vecteur B. Lorsque vous faites cela, votre pouce pointe dans une direction particulière, et c’est la direction de votre réponse finale. Pour la direction, A -cross- B ne vous donnera pas le même résultat que B -cross- A, donc l’ordre dans lequel vous écrivez votre multiplication est important.

Résultats d’apprentissage

Après avoir étudié cette leçon, vous serez capable de :

  • Définir le vecteur et le produit vectoriel
  • Calculer un produit vectoriel à l’aide de l’équation du produit vectoriel
  • Démontrer comment obtenir la direction d’un produit vectoriel
  • Rappelez-vous pourquoi l’ordre de multiplication est important pour un produit vectoriel


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