Formule, types et exemples d’intérêts composés

Publié le 21 janvier, 2024

Qu’est-ce que l’intérêt composé?

Lorsque l’argent est investi, il rapporte des intérêts ; c’est-à-dire que le montant initial est remboursé, mais également un autre montant en plus. Cet intérêt correspond à un pourcentage du montant initial investi. En termes mathématiques, l’intérêt est un certain pourcentage d’une valeur qui s’ajoute à cette valeur au fil du temps. Voici la formule de calcul des intérêts simples:

$$I=P\cdot r\cdot t $$

Où:

  • I = Montant des intérêts. Il s’agit du montant supplémentaire qui est ajouté à l’original.
  • P = Montant principal. Il s’agit du montant initial.
  • r = Taux d’intérêt. Il s’agit du pourcentage du principal qui est ajouté sous forme d’intérêts.
  • t = Temps. La durée sur laquelle les intérêts sont calculés, en années.

Le taux d’intérêt sera souvent présenté sous forme de pourcentage, mais dans la formule, il s’agit d’un nombre décimal. N’oubliez pas que pour le taux d’intérêt:

$$r=\frac{\%}{100} $$

Les intérêts ne doivent pas nécessairement être calculés sur une seule période de temps, comme c’est le cas pour les intérêts simples. Le montant peut être calculé annuellement, mensuellement ou par tranches de temps plus petites en tant que partie du taux. Cette valeur est ensuite ajoutée au principal avant le prochain calcul des intérêts, ce qui entraîne une croissance exponentielle du montant des intérêts au fil du temps. Ce processus est défini comme intérêt composé.

La formule des intérêts composés

Les intérêts composés sont calculés à l’aide de cette formule :

$$I=P[(1+\frac{r}{n})^{tn} – 1] $$

Où:

  • I = Montant des intérêts
  • P = Montant principal
  • r = Taux d’intérêt
  • t = Temps
  • n = Nombre de fois où les intérêts sont composés au cours d’une année. Si composé annuellement, alors n = 1. Si composé mensuellement, alors n = 12, par exemple.

Au lieu de calculer le montant des intérêts, il est possible de calculer le montant total accumulé, qui correspond au montant du principal et des intérêts additionnés.

$$A = P(1+\frac{r}{n})^{nt} $$

Ici, A = montant accumulé.

N’oubliez pas que quelle que soit la valeur calculée, le montant accumulé est simplement la somme du principal et des intérêts.

$$A = P+I $$

L’importance des intérêts composés

Les intérêts composés augmentent de façon exponentielle avec le temps.

Les intérêts composés augmentent de façon exponentielle avec le temps.

Notez les différences entre les intérêts simples et les intérêts composés. Les intérêts simples augmentent géométriquement avec le temps et le taux d’intérêt est prélevé sur le principal. Toutefois, les intérêts composés augmentent de façon exponentielle. Il est recalculé à chaque période de composition. Le montant du principal augmente avec le temps, de sorte que le montant des intérêts augmente à chaque fois, et il augmente plus rapidement à mesure que la période de composition diminue. Les intérêts augmentent plus rapidement lorsqu’ils sont composés hebdomadairement plutôt qu’annuellement, par exemple. L’argent économisé dans une banque ou investi peut croître beaucoup plus rapidement grâce aux intérêts composés.

Comment calculer les intérêts composés

L’équation des intérêts composés est utilisée pour trouver le montant accumulé lorsque le principal, le taux, la période de composition et le temps sont connus. En utilisant l’algèbre, la formule peut être manipulée pour trouver les autres valeurs.

La formule originale : {eq}I=P[(1+\frac{r}{n})^{tn} – 1] {/eq}

Pour trouver le principal : {eq}P = \frac{I}{(1+\frac{r}{n})^{nt}-1} {/eq}

Pour trouver le taux : {eq}r = n[(\frac{I}{P}+1)^{\frac{1}{nt}} – 1] {/eq}

Pour trouver l’heure : {eq}t=\frac{log_{(1+\frac{r}{n})} (\frac{I}{P}+1)}{n} {/eq}

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Exemples d’intérêts composés

Les exemples suivants seront utiles pour illustrer davantage le principe des intérêts composés.

Exemple 1

Clara découvre que son ami Steve cache son argent dans une boîte sous son lit. Clara dit à Steve que s’il investissait son argent comme elle le fait, son argent serait composé mensuellement à un taux d’intérêt de 3,7 %. Steve a 4 500 dollars dans sa boîte. S’il investit cet argent maintenant, combien d’intérêts gagnera-t-il dans cinq ans?

En utilisant ces valeurs, remplissons la formule des intérêts composés. N’oubliez pas que le taux doit être converti d’un pourcentage en décimal.

$$I = 4500[(1+\frac{.037}{12})^{(12\cdot5)}-1] $$

$$I = 4500[(1.00308)^{60}-1] $$

$$I = 911,86 $$

Steve aura plus de 900 $ de plus s’il investit son argent.

Exemple 2

Micah a 10 000 $ et il souhaite les investir. Sa banque promet un taux d’intérêt de 5,2 %, composé annuellement. Micah veut savoir comment son investissement va évoluer au fil du temps. Quel intérêt Mica aura-t-il à la fin de chaque année pendant les cinq années à venir? Combien aura-t-il après 10 ans?

Puisque les intérêts sont composés chaque année, n = 1.

Année 1 : $$I = 10 000[(1+\frac{.052}{1})^{(1\cdot1)}-1] $$

$$I = 10000(1,052 -1) $$

$$I = 520 $$

Année 2 : {eq}I = 10 000[(1+.052)^2-1] = 1 067,04 {/eq}

Année 3 : {eq}I = 10 000[(1+.052)^3-1] = 1642,53 {/eq}

Année 4 : {eq}I = 10 000[(1+.052)^4-1] = 2 247,94 {/eq}

Année 5 : {eq}I = 10 000[(1+.052)^5-1] = 2 884,83 {/eq}

Année 10 : {eq}I = 10000[(1+.052)^{10}-1] = 6601,88 {/eq}


Comme indiqué précédemment, les intérêts peuvent être composés sur différents intervalles. Ces intervalles doivent être régulièrement espacés (quotidiens, hebdomadaires, etc.), et ils sont présents dans la formule des intérêts composés via la variable « n ». Dans les exemples suivants, considérons un montant en capital de 5 000 $ avec un taux d’intérêt de 3,1 % sur trois ans. Notez qu’à mesure que la période de composition diminue, le montant accumulé augmente.

Formule d’intérêt composé mensuel

Les intérêts composés mensuellement sont calculés 12 fois par an.

$$I = P[(1+\frac{r}{12})^{12t}-1] $$

$$I = 5000[(1+\frac{.031}{12})^{(12\cdot3)}-1] = 486,65 $$

Formule trimestrielle composée

Les intérêts composés trimestriellement sont calculés quatre fois par an.

$$I = P[(1+\frac{r}{4})^{4t}-1] $$

$$I = 5000[(1+\frac{.031}{4})^{(4\cdot3)}-1] = 485,34 $$

Formule d’intérêt composé quotidien

Les intérêts composés quotidiennement sont calculés 365 fois par an.

$$I = P[(1+\frac{r}{365})^{365t}-1] $$

$$A = 5000[(1+\frac{.031}{365})^{(365\cdot3)}-1] = 487,29 $$

Formule d’intérêt composé annuel

Lorsque les intérêts sont composés annuellement, ils ne sont calculés qu’une seule fois par an.

$$A = P[(1+r)^t-1] $$

$$A = 5000[(1+.031)^3-1] = 479,56 $$


On peut utiliser une variante de la formule des intérêts composés pour comparer la valeur initiale et la valeur finale d’un investissement sur différentes périodes de temps. La formule de la valeur future montre le montant du principal et des intérêts ensemble, la valeur totale de l’investissement, au lieu des seuls intérêts gagnés.

$$FV = PV(1+\frac{r}{n})^{nt} $$

Où:

  • FV = valeur future de l’investissement
  • PV = valeur actuelle (principal)
  • r = le taux d’intérêt (en décimal)
  • n = le nombre de périodes de composition dans une année
  • t = nombre d’années

Cette formule peut être réorganisée en utilisant l’algèbre pour trouver la valeur actuelle si la valeur future est connue.

$$PV=\frac{FV}{(1+\frac{r}{n})^{nt}} $$


L’argent est investi ou économisé dans une banque dans l’espoir que le montant augmentera avec le temps. Le montant d’argent qui s’ajoute au montant initial constitue les intérêts. Les intérêts augmentent en pourcentage du montant initial, le principal, au fil du temps, et ce pourcentage est appelé taux d’intérêt. Lorsque les intérêts simples sont calculés, ils se font en multipliant le principal par le taux et la durée pendant laquelle l’argent est investi.

$$I = P\cdot r\cdot t $$

Cependant, avec les intérêts composés, ce calcul est effectué plusieurs fois au cours d’une année et, à chaque fois, les intérêts deviennent une partie du principal pour le calcul suivant, ce qui signifie que le montant des intérêts augmente de façon exponentielle avec le temps. Les intérêts composés sont calculés à l’aide de cette formule :

$$I=P[(1+\frac{r}{n})^{tn} – 1] $$

  • I = Montant des intérêts
  • P = Montant principal
  • r = Taux d’intérêt
  • t = Temps
  • n = Nombre de fois où les intérêts sont composés au cours d’une année

Par exemple, si les intérêts sont composés mensuellement, la formule ressemble à ceci :

$$I = P[(1+\frac{r}{12})^{12t}-1] $$

Plus les intérêts sont composés plusieurs fois au cours d’une année, plus ils augmentent rapidement.



Transcription vidéo

Formule d’intérêt composé

Vous êtes-vous déjà demandé comment les banques et les sociétés de cartes de crédit gagnent autant d’argent tout en en faisant si peu? Leur secret? Intérêts composés. C’est à ce moment-là que les intérêts sont calculés à la fois sur le principal et sur les intérêts courus à intervalles réguliers.

Imaginons trois frères. Chacun commence avec 10 000 $.

D’abord, il y a Joe. Joe garde son argent dans une boîte à chaussures sous son lit. Il est toujours à portée de main, mais il ne fait pas grand-chose non plus. Après 15 ans, Joe possède encore 10 000 $. Et ça sent plus qu’un petit peu les pieds.

Et puis il y a John. John place son argent sur un compte qui rapporte des intérêts simples au taux de 5 %. Cela signifie que les intérêts sont ajoutés en une seule fois à la fin de la période. Après 15 ans, il dispose de 17 500 $. C’est super! Et aucune odeur de pieds.

Enfin, il y a Jim. Jim place son argent sur un compte à intérêts composés. Il a le même taux de 5 % que le compte de John, mais il est composé mensuellement. Après 15 ans, il possède 21 137 $. Waouh ! Il a plus que doublé son argent. Et encore une fois, aucune odeur de pieds.

Alors, comment Jim a-t-il fait? Nous devons comprendre la formule des intérêts composés : A = P (1 + r/n )^ nt. A représente la somme d’argent accumulée. P est le principal ; c’est le montant avec lequel vous commencez. Le r est le taux d’intérêt. Il s’agit d’un nombre décimal ; en d’autres termes, si le taux d’intérêt est de 9 %, nous utilisons 0,09 dans l’équation. Le n est le nombre de fois où les intérêts sont composés chaque année. Enfin, t est la durée en années du dépôt ou de l’argent emprunté.

C’est comme un grand bol de soupe à l’alphabet. Passons rapidement en revue les lettres. A pour le montant final. P pour le principal ou le montant de départ. R pour taux d’intérêt. n pour le nombre de fois que l’intérêt est composé. Pendant des années, l’argent reste assis.

Problème pratique n°1

Essayons un problème pratique : Will dépose 1 000 $ sur un compte qui rapporte un intérêt de 4 %, composé trimestriellement. En arrondissant au dollar le plus proche, quel sera le solde après 3 ans?

Tout d’abord, c’est bien pour Will d’avoir déposé de l’argent et de l’avoir laissé gagner des intérêts pendant 3 ans. OK, pour résoudre ce problème, découvrons ce que nous savons. Nous savons que le capital de départ est de 1 000 $. C’est notre P.

Nous savons également que le taux d’intérêt est de 4 %. Si nous convertissons cela en décimal, cela donne 0,04. Voilà donc notre r. Nous savons que la durée totale, ou t, est égale à 3. N’oubliez pas que t est la durée en années.

Et le n? C’est le nombre de fois où les intérêts augmentent en un an. Nous savons que le compte de Will augmente chaque trimestre. Cela fait donc 4 fois par an. Notre n vaut donc 4.

Posons notre équation. Nous commençons par A = P (1 + r/n )^ nt. Nous essayons de trouver A, le solde du compte au bout de 3 ans. Donc A = 1 000(1 + 0,04/4)^(4*3).

Lors de la résolution d’une équation comme celle-ci, l’ordre des opérations est essentiel. N’oubliez pas le PEMDAS. Alors, faites d’abord les choses entre parenthèses. Puis les exposants, puis la multiplication et la division. Ensuite, l’addition et la soustraction, même si nous n’en aurons pas besoin ici. Je suppose qu’on pourrait dire PDME, mais ce n’est pas vraiment un mot. OK, PEMDAS n’est pas non plus un vrai mot, mais il y ressemble.

Quoi qu’il en soit, commençons entre parenthèses. .04/4 est.01. Si on ajoute 1, on obtient 1,01. Maintenant, 4 * 3 vaut 12, nous devons donc résoudre 1,01 avec un exposant de 12. Cela fait 1,1268… et bien d’autres choses. Avec cela toujours sur notre calculatrice, multiplions par 1 000. Nous obtenons 1126,83. En arrondissant au dollar, cela fait 1 127 $.

Ainsi, après 3 ans, Will a gagné 127 $ de plus en plus de ses 1 000 $ d’origine. Et tout ce qu’il avait à faire était de laisser son argent tranquille.

Problème pratique n°2

Comme pour la plupart des choses dans la vie, avec les intérêts composés, plus vous avez d’argent, plus vous pouvez en faire. Essayons un problème pratique avec un peu plus d’argent en jeu: Sarah dépose 25 000 $ sur un compte qui rapporte un intérêt de 6,5 %, composé mensuellement. En arrondissant au dollar le plus proche, quel sera le solde après 8 ans?

Sarah est un peu plus une grande joueuse que Will. Non seulement elle dépose davantage, mais elle s’est retrouvée avec un excellent taux d’intérêt de 6,5 % et un compte composé mensuellement. La fréquence composée est un gros problème. Pensez au fonctionnement des intérêts composés. Cela prend votre intérêt et l’ajoute au principal. Plus cela se produit souvent, plus votre solde est important et plus vous gagnez d’intérêts à chaque période. Il y a donc un effet boule de neige.

Des mélanges fréquents peuvent être d’une grande aide. À l’inverse, les intérêts composés rares vont en quelque sorte à l’encontre de l’objectif des intérêts composés. Si votre compte composait des intérêts une fois tous les 10 ans, eh bien, vous devrez attendre 10 ans pour constater les avantages de la composition.

Quoi qu’il en soit, le compte de Sarah augmente mensuellement, soit 12 fois par an. C’est notre n, et c’est un excellent. Nous savons que notre P représente la somme énorme de 25 000 $. Le taux d’intérêt est de 6,5%. En décimal, cela fait 0,065. Soyez prudent avec ce point décimal. Nous le déplaçons toujours de deux places vers la gauche. Finalement, le t est de 8, pour 8 ans. Sarah va laisser cet argent servir pendant deux mandats présidentiels ou deux Jeux olympiques d’hiver. Ou peut-être qu’elle le dépose le 29 février et attend quelques années bissextiles.

Passons à la formule: A = P (1 + r/n )^ nt. Cela fait donc A = 25 000(1 + 0,065/12)^(12*8). Soyons prudents avec ces gros chiffres. .065/12 est.00541666 répétitif. Si nous ajoutons 1 et que nous l’élevons ensuite à la puissance 96, nous obtenons 1,6797 et changeons. Cela semble être un nombre relativement faible. Je veux dire, c’est moins de 2. Mais voyons ce qui se passe lorsque nous le multiplions par 25 000. C’est 41 991,72 ! Au dollar près, cela fait 41 992 $. Sarah a donc gagné près de 17 000 $ en intérêts. Ouah.

Résumé de la leçon

Pour résumer, nous avons découvert les intérêts composés. Il s’agit d’intérêts calculés à la fois sur le principal et sur les intérêts courus à intervalles réguliers.

La formule que nous utilisons pour trouver les intérêts composés est A = P (1 + r/n )^ nt. Dans cette formule, A représente le montant total accumulé. P est le principal d’origine ; c’est l’argent avec lequel nous commençons.

Le r est le taux d’intérêt. Nous convertissons le pourcentage en décimal pour celui-ci. Ensuite, il y a n, qui est le nombre de fois où les intérêts sont composés en un an. Si c’est trimestriel, n vaut 4. Si c’est mensuel, n vaut 12. Et t est le temps, en années, pendant lequel les intérêts se forment.

Résultats d’apprentissage

Une étude approfondie de cette leçon pourrait vous préparer à faire ce qui suit :

  • Donner la signification des intérêts composés
  • Comparez les intérêts composés aux intérêts simples
  • Écrivez la formule des intérêts composés
  • Résolvez des problèmes avec cette formule en utilisant l’ordre des opérations


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