Équation de la loi de Biot-Savart, exemples et expérience

Publié le 18 janvier, 2024

Loi Bio-Savart

Une particule chargée telle qu’un proton ou un électron est associée à un champ électrique, et ce champ électrique est une propriété inhérente à la particule chargée. Un champ électrique est comme un nuage de charge positive ou négative entourant la particule et, pour une particule chargée négativement, le champ électrique se dirige vers la particule tandis que, pour une particule chargée positivement, le champ électrique s’écoule vers l’extérieur de la particule. La figure 1 illustre les lignes de champ électrique pour un électron. Notez que les lignes de champ de la figure 1 sont représentées par des vecteurs ; en effet, l’intensité du champ électrique dépend de la position d’une charge source par rapport à l’endroit où l’intensité du champ est mesurée. Étant donné que l’intensité du champ électrique dépend de la direction, le champ électrique est considéré comme un champ vectoriel.

Figure 1: Les lignes de champ équipotentielles d’une particule chargée négativement.

Un exemple de champ électrique.

Lorsqu’une particule chargée se déplace, le mouvement de son champ électrique génère un champ magnétique oscillant dépendant de la direction et, combinés, les deux champs constituent la force électromagnétique. La force électromagnétique est une force attractive ou répulsive qui est ressentie lorsqu’un objet se rapproche d’un champ électrique ou d’un champ magnétique. La loi de Bio-Savart a été dérivée par deux physiciens français pour calculer l’intensité et la direction du champ magnétique en tout point. dans l’espace.

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Qu’est-ce que la loi Biot-Savart?

Les champs électriques et les champs magnétiques peuvent sembler différents, mais ils font en réalité partie d’une force plus vaste appelée champ électromagnétique. Les charges qui ne bougent pas produisent des champs électriques. Mais lorsque ces charges se déplacent, elles créent également des champs magnétiques. Par exemple, un aimant n’est un aimant qu’en raison des charges qui se déplacent à l’intérieur. Et les charges se déplaçant dans un fil électrique produisent également des champs magnétiques. Si vous rapprochez une boussole d’un fil électrique, vous constaterez que l’aiguille de la boussole change de direction.

La loi de Biot-Savart est une équation qui décrit le champ magnétique créé par un fil porteur de courant et permet de calculer sa force en différents points.

Pour dériver cette loi, nous prenons d’abord cette équation pour le champ électrique. Il s’agit de la version complète, où nous utilisons muu-zero sur 4pi au lieu de la constante électrostatique k. Puisque nous regardons un fil, nous remplaçons la charge q par I dl, qui est le courant dans le fil, multiplié par un élément de longueur dans le fil. En gros, il s’agit de traiter ce petit morceau de fil comme notre charge. Et nous remplaçons également le champ électrique E par un élément de champ magnétique dB car une charge en mouvement produit un champ magnétique, pas un champ électrique.

Enfin, il faut comprendre qu’un courant a une direction (contrairement à une charge). Nous devons donc nous assurer que la direction du courant affecte notre résultat. Nous faisons cela en ajoutant le sinus de l’angle entre le courant et le rayon. De cette façon, si le fil est courbé, nous en tiendrons compte. Et voilà, c’est la loi Biot-Savart.

Équation de la loi de Bio-Savart

La loi de Bio-Savart est une intégrale vectorielle multivariable et, dans sa forme complète, l’ équation de la loi de Bio-Savart est

{eq}\vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{ \vec I \times \vec r}{r^2} {/eq}

où {eq}\mu_0 {/eq} est la constante de perméabilité au vide, {eq}\vec I {/eq} est un courant et {eq}\vec r {/eq} est le vecteur de la source au point de mesure. Pour un fil porteur de courant infini, la formule de la loi de Bio-Savart peut être simplifiée en {eq}B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} {/eq} où s est la distance entre le fil et le point de mesure.

Cette forme simplifiée de la loi de Bio-Savart peut être dérivée directement de la forme simplifiée de l’équation du champ électrique,

{eq}E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 s^2} {/eq}

où {eq}\epsilon_0 {/eq} est la permittivité de la constante d’espace libre et q est une charge, en remarquant que la charge qui crée un champ électrique peut être réécrite comme {eq}I dl {/eq} qui signifie un courant sur une distance infinitésimale. Définir la charge de cette manière signifie que le système est en mouvement, donc l’équation du champ électrique ne décrit plus un champ électrique ; il décrit un changement dans un champ magnétique et l’équation du champ électrique peut être réécrite pour lire

{eq}E = \frac{I dl}{4 \pi \epsilon_0 s^2} \rightarrow dB = \frac{I dl}{4 \pi \epsilon_0 s^2} {/eq}.

où dB est la variation du champ magnétique. Intégrer les deux côtés de {eq}dB = \frac{I dl}{4 \pi \epsilon_0 s^2} {/eq} et effectuer les substitutions pour passer de {eq}\epsilon_0 {/eq} à {eq}\ mu_0 {/eq} donne la loi de Bio-Savart pour un fil porteur de courant infini telle qu’elle est donnée ci-dessus, {eq}B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} {/eq}. Notez qu’il est conventionnel d’utiliser {eq}\epsilon_0 {/eq} pour un champ électrique et {eq}\mu_0 {/eq} pour un champ magnétique.

Le champ magnétique est habituellement donné en unités de Teslas, et cela peut être dérivé en simplifiant les unités de la loi de Bio-Savart : la permittivité de la constante de l’espace libre a des unités de {eq}N/A^2 {/eq}, Newtons par ampères au carré ; le courant a des unités de A, ampères, et la distance a des unités de mètres, m. Combinées, les unités du champ magnétique de la loi de Bio-Savart sont des Newtons par ampèremètre qui ont un facteur de conversion de 1:1 en Teslas, T. Parce que la loi de Bio-Savart, sous cette forme, n’est pas directionnel, utilisez la règle de droite pour trouver la direction du champ magnétique. La règle de la main droite stipule que, en prenant la main droite et en pointant le pouce dans la direction du courant, les doigts s’enrouleront dans la direction du champ magnétique. La figure 2 illustre comment utiliser la règle de la main droite.

Figure 2: La règle de droite permet de trouver la direction d’un champ magnétique. Pour l’utiliser, placez le pouce de la main droite dans le sens du courant. Les doigts s’enrouleront dans la direction du champ magnétique.

Exemple de règle de droite.


L’ exemple de loi de Bio-Savart suivant montre comment utiliser l’équation de Bio-Savart avec la règle de droite.

Exemple : Sandy et Tommy sont dans un laboratoire de physique et on leur a demandé de mesurer la force et la direction du champ magnétique généré par un fil porteur de courant dans le laboratoire. Pour commencer, ils mettent en place leur expérience et connectent un fil à une batterie dans un circuit, plaçant le système sur une table de laboratoire afin que le courant circule de gauche à droite le long du fil. Ensuite, ils allument la batterie et connectent un ampèremètre au circuit. L’ampèremètre indique 0,64 A. Si Tommy se tient à 0,5 m du fil et Sandy à 1,0 m du fil, quel champ magnétique ressentent-ils chacun et dans quelle direction le champ magnétique se déplace-t-il ?

1) Commencez par rédiger la loi Bio-Savart:

{eq}B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} {/eq}

2) Branchez l’intensité du courant lu sur l’ampèremètre :

{eq}B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \rightarrow B = \frac{0,64 \mu_0}{2 \pi s} {/eq}

3) Choisissez un élève pour calculer l’intensité du champ magnétique. Cet exemple utilisera Sandy en premier. Notez que {eq}\mu_0 = 4 \pi * 10^{-7} {/eq} T :

{eq}B = \frac{0,64*4 \pi * 10^{-7}}{2 \pi * 1} = 1,28*10^{-7} {/eq} T

4) Répétez le calcul en 3) pour Tommy :

{eq}B = \frac{0,64*4 \pi * 10^{-7}}{2 \pi * 0,5} = 2,56*10^{-7} {/eq} T

Sandy se tient deux fois plus loin du fil que Tommy, donc, comme prévu, le champ magnétique où se tient Sandy est deux fois plus faible que le champ magnétique où se tient Tommy. Le champ magnétique d’un fil infini tourne autour du fil, et en supposant que Sandy et Tommy se tiennent perpendiculairement au fil, la règle de droite dit que le champ magnétique s’éloignera des deux élèves.


Une particule chargée stationnaire telle qu’un électron ou un proton est associée à un champ électrique. Lorsqu’une particule chargée se déplace, son champ électrique en mouvement crée un champ magnétique, et le champ électrique et le champ magnétique sont tous deux considérés comme des champs vectoriels. Grâce à la loi de Bio-Savart, il est possible de calculer la force et la direction d’un champ magnétique en tout point de l’espace. Dans sa forme complète, l’ équation de la loi de Bio-Savart est une intégrale vectorielle multivariable, mais cette intégrale peut être simplifiée pour un fil porteur de courant infini.

La version simplifiée de la formule de la loi de Bio-Savart peut être dérivée de l’expression simplifiée du champ électrique et, pour un fil infini où le champ magnétique fait le tour du fil, l’équation de la loi de Bio-Savart est {eq}B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi s} {/eq} où {eq}\mu_0 {/eq} est la constante de perméabilité au vide, I est un courant et s est la distance entre la source du champ magnétique et le point où il est mesuré. Cependant, cette expression ne produira que la force d’un champ magnétique. Pour utiliser cette formule dans un exemple de loi Bio-Savart et obtenir à la fois l’intensité et la direction du champ magnétique, la règle de droite doit également être utilisée.


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Équation simplifiée

L’utilisation de la loi de Biot-Savart nécessite du calcul. C’est pourquoi il y a un dB et un dl. Ce sont des éléments de champ magnétique infinitésimaux et des éléments filaires. Il faudrait donc intégrer ces éléments. Mais on peut utiliser une version plus simple de la loi pour un fil parfaitement droit.

Si nous redressons le fil et faisons quelques calculs, la loi apparaît comme muu-zéro I divisé par 2pi r. Ou en d’autres termes, le champ magnétique B, mesuré en teslas, est égal à la perméabilité de l’espace libre, muu-zéro, qui est toujours de 1,26 x 10^-6, multipliée par le courant traversant le fil, I, mesuré en ampères, divisé par 2pi fois le rayon éloigné du fil, r, mesuré en mètres. Cette équation nous aide donc à déterminer le champ magnétique à un rayon r d’un fil droit transportant un courant I.

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L’équation nous donne l’amplitude du champ magnétique, mais un champ magnétique est un vecteur, alors qu’en est-il de la direction? Le champ magnétique créé par un fil porteur de courant prend la forme de cercles concentriques. Mais nous devons être capables de déterminer si ces cercles pointent dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse (par exemple, vus d’en haut). Pour ce faire, nous utilisons une règle de la main droite.

Je veux que vous donniez un coup de pouce à l’écran, maintenant. Je suis sérieux – donnez un coup de pouce à l’écran avec votre main droite. Cela doit être avec votre main droite. Si vous pointez votre pouce dans la direction du courant de ce fil, vos doigts s’enrouleront dans la direction du champ magnétique. Ils suivront les flèches des cercles concentriques. Et c’est ainsi que vous déterminez la direction.

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Exemple de calcul

Bon, passons en revue un exemple. Disons que vous avez un fil transportant un courant de 0,1 ampère et qu’on vous demande de calculer le champ magnétique à une distance de 0,5 mètre de ce fil. Tout d’abord, comme d’habitude, écrivons ce que nous savons. I est égal à 0,1 ampère et r est égal à 0,5 mètre. On nous demande de calculer le champ magnétique, donc B =?. Tout le reste dans l’équation est une constante, nous pouvons donc intégrer les nombres et résoudre. Le champ magnétique B est égal à 1,26 x 10 ^ -6 (c’est-à-dire muu-zéro ) multiplié par 0,1, divisé par 2pi fois 0,5 mètre. Branchez tout ça dans une calculatrice et vous obtenez un champ magnétique de 4*10^-8 teslas.

Enfin, nous devons trouver la direction. D’après ce diagramme montrant la position qui nous intéresse, dans quelle direction pointe ce champ magnétique ? Eh bien, prenez votre main droite et formez un pouce vers le haut. Pointez ensuite votre pouce dans la direction du courant, vers le haut, vers le haut de l’écran. Imaginez maintenant enrouler vos doigts autour du fil… imaginez saisir physiquement le fil. Vos doigts pointent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Ainsi, au point marqué P sur l’image, le champ magnétique est de 4*10^-8 teslas et est pointé vers l’écran. (Ou s’il s’agissait d’un morceau de papier, il serait dans la page.)

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Et c’est tout – nous avons terminé.

Résumé de la leçon

La loi de Biot-Savart est une équation qui décrit le champ magnétique créé par un fil porteur de courant et permet de calculer sa force en différents points. Cela ressemble à ceci. L’utilisation de la loi de Biot-Savart nécessite du calcul, mais nous pouvons utiliser une version plus simple de la loi pour un fil parfaitement droit.

La version la plus simple dit que le champ magnétique B, mesuré en teslas, est égal à la perméabilité de l’espace libre, muu-zéro, qui est toujours de 1,26 x 10^-6, multipliée par le courant traversant le fil, I, mesuré en ampères, divisé par 2pi fois le rayon éloigné du fil, r, mesuré en mètres. Cette équation nous aide donc à déterminer le champ magnétique à un rayon r d’un fil droit transportant un courant I.

Pour déterminer la direction de ce champ magnétique, nous utilisons une règle de droite. Si vous pointez votre pouce dans la direction du courant dans un fil, vos doigts s’enrouleront autour de ce fil dans la direction du champ magnétique. Cela vous montrera dans quel sens vont les flèches sur les cercles concentriques.

Ainsi, en utilisant la loi de Biot-Savart et la règle de droite, nous pouvons comprendre tout ce que nous devons savoir sur le champ magnétique créé par un fil porteur de courant.


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