Aperçu de l’énergie cinétique de rotation, formule et exemple

Publié le 18 janvier, 2024

Qu’est-ce que l’énergie cinétique de rotation?

L’énergie cinétique est l’énergie du mouvement. Tout objet en mouvement possède de l’énergie cinétique. Pour un objet avec une trajectoire linéaire, comme une voiture traversant les plaines du Kansas, l’équation de l’énergie cinétique est {eq}KE_{linear} = \frac{1}{2}mv^2 {/eq} où m est la masse et v est la vitesse. Comment peut-on décrire l’énergie cinétique de cette même voiture une fois qu’elle commence à rouler sur les contreforts des Rocheuses alors qu’elle atteint le Colorado? Conduire sur une colline, comme un satellite en orbite autour de la terre ou une balle en rotation, a une trajectoire circulaire. Le concept d’ énergie cinétique de rotation ou d’énergie cinétique angulaire est utilisé pour décrire le mouvement d’un objet avec une trajectoire non linéaire. La formule utilisée pour décrire l’énergie cinétique des objets ayant une trajectoire circulaire ou courbe sera discutée dans la section suivante. L’énergie cinétique associée à la rotation de l’objet se mesure en Joules (J).

Formule d’énergie cinétique de rotation

La formule de l’énergie cinétique de rotation est {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2 {/eq}. Le terme au carré est la lettre grecque minuscule oméga. En physique, c’est le symbole utilisé pour la vitesse angulaire. La vitesse angulaire est définie comme le changement d’angle, {eq}\theta {/eq}, divisé par le changement de temps, et mathématiquement elle s’écrit {eq}\omega = \frac{ \Delta \theta}{ \Delta t } {/éq}. La vitesse angulaire est mesurée en radians par seconde.

La formule de l’énergie cinétique de rotation contient également la variable I. En physique, I représente le moment d’inertie d’un objet. Le moment d’inertie d’un corps rigide est une mesure de la masse de l’objet multipliée par la distance perpendiculaire du centre de masse à l’axe de rotation de l’objet. Le moment d’inertie est un point autonome autour duquel un objet tourne, et cette mesure dépend de la géométrie de l’objet. Les calculs du moment d’inertie sont courants dans le calcul intégral, et la figure 1 répertorie la formule générale pour calculer le moment d’inertie de certaines formes courantes.

Figure 1 : Un tableau des formules générales de moment d’inertie pour les géométries courantes.

Exemples de moment d'inertie.

Énergie cinétique rotationnelle ou translationnelle

La formule de l’énergie de rotation, {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2 {/eq}, utilisée pour trouver l’énergie cinétique d’un objet en rotation tel qu’un électron en rotation, semble très similaire à la formule d’énergie cinétique linéaire, {eq}KE_{linear} = \frac{1}{2}mv^2 {/eq}, qui est utilisée pour trouver l’ énergie cinétique de translation d’un objet tel qu’une balle tombant d’un balcon. Bien que ces formules aient une forme similaire, elles utilisent chacune des quantités différentes. La première différence à noter est que l’énergie cinétique de translation nécessite de trouver la vitesse linéaire, v, de l’objet en mouvement, tandis que la formule de l’énergie cinétique de rotation nécessite de trouver la vitesse angulaire, {eq}\omega {/eq}. La deuxième différence importante à noter est que l’énergie cinétique de rotation nécessite de calculer le moment d’inertie, I, tandis que l’énergie cinétique de translation nécessite uniquement de connaître la masse, m, de l’objet en mouvement. Pourquoi est-ce? Une autre façon de conceptualiser la masse est la capacité d’un objet à résister à un mouvement linéaire. Le moment d’inertie d’un objet en est l’analogue en rotation et correspond à la capacité d’un objet à résister à un mouvement circulaire.

Pour décrire complètement le mouvement de tout objet en mouvement, utilisez la formule de l’énergie cinétique totale, {eq}KE_{total} = \frac{1}{2} (mv^2 + I \omega^2) {/eq}. Dans la formule de l’énergie cinétique totale, si l’objet n’a qu’un mouvement linéaire, le premier terme sera non nul et le deuxième terme sera nul, tandis que si l’objet n’a qu’un mouvement de rotation, le deuxième terme sera non nul et le le premier terme sera nul.

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Relation entre le moment angulaire et l’énergie cinétique

Le moment angulaire, L, est donné par la formule {eq}L = mvr {/eq}. C’est l’équivalent rotationnel de l’impulsion linéaire et décrit la relation entre la masse, la vitesse et la position d’un objet. La vitesse linéaire, v, est liée à la vitesse angulaire via l’équation {eq}v = r \omega {/eq}. Cela peut être remplacé dans l’équation du moment cinétique pour donner {eq}L = m \omega r^2 {/eq}. Revenons maintenant à la figure 1 et notez que chaque moment de l’équation d’inertie implique {eq}mr^2 {/eq}. Utiliser {eq}I = mr^2 {/eq} et remplacer I dans l’équation du moment cinétique donne {eq}L = I \omega {/eq}. Espérons que cela commence à vous paraître familier. N’oubliez pas que l’énergie cinétique de rotation a l’équation {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2 {/eq}. L peut être soumis pour donner {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} L \omega {/eq}. Utiliser le moment cinétique au lieu de la vitesse angulaire est une autre façon de décrire l’énergie cinétique de rotation.


Pensez à l’exemple d’une voiture traversant les montagnes Rocheuses. Les exemples précédents examinaient le mouvement de la voiture dans son ensemble pour décider si la trajectoire était linéaire ou circulaire, mais que se passerait-il si, au lieu d’utiliser la voiture entière, seul le pneu était utilisé? Quel type de mouvement représente un pneu en mouvement? Imaginez marquer une tache sur un pneu, puis l’envoyer rouler dans la rue. La tache sur le pneu se déplacera dans un mouvement circulaire à mesure que le pneu se déplace en ligne depuis sa position de départ jusqu’à sa position finale quelque part sur la route. Étant donné que le pneu se déplace dans un mouvement circulaire, la formule de l’énergie cinétique aura une composante de rotation non nulle, {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2 {/eq}. En référence à la figure 1, le pneu peut être assimilé à une boucle creuse, de sorte que le moment d’inertie du pneu est {eq}I = mr^2 {/eq} où m est la masse du pneu et r est son rayon. En remplaçant cela dans la formule de l’énergie cinétique de rotation, la formule devient {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} mr^2 \omega^2 {/eq}

Pour décrire pleinement le mouvement de ce pneu, le déplacement linéaire depuis les positions de départ et d’arrivée du pneu doit également être pris en compte. Cela nécessite également une énergie cinétique de translation non nulle, {eq}KE_{linear} = \frac{1}{2}mv^2 {/eq}. La vitesse linéaire, v, se rapporte à la vitesse angulaire via l’équation {eq}v = r \omega {/eq}, et {eq}r \omega {/eq} peut être utilisé pour remplacer v dans l’équation de l’énergie de translation pour donner {eq}KE_{linéaire} = \frac{1}{2}m( r \omega)^2 {/eq}. Dans cet exemple, les deux termes de la formule de l’énergie cinétique totale sont non nuls. Ainsi, en mettant le tout ensemble, {eq}KE_{tire-total} = \frac{1}{2} (m( r \omega)^2 + mr^2 \omega^2) {/eq}.

Exemple 1: Calculez l’énergie cinétique totale d’un ballon de plage de masse 0,1 kg et de rayon 0,3 mètre roulant en descente à une vitesse de 10 m/s.

Figure 2 : Utilisez ce système pour répondre à l’exemple 1.

Exemple de calcul de KE total avec une sphère.

La formule de l’énergie cinétique totale est {eq}KE_{total} = \frac{1}{2} (mv^2 + I \omega^2) {/eq}.

1) Énoncez les éléments connus du problème.

  • r = 0,3 m
  • v = 10 m/s
  • m = 0,1kg
  • un ballon de plage est creux et peut être assimilé à une coque sphérique creuse. En utilisant la figure 1, {eq}I = \frac{2}{3}mr^2 {/eq}.

2) Toutes les variables de l’énergie cinétique totale sont données à l’exception de la vitesse angulaire du ballon de plage. La vitesse linéaire, {eq}v = r \omega {/eq}, peut être réécrite en termes de vitesse angulaire : {eq}\omega = \frac{r}{v} {/eq}. Brancher r et v à partir de 1) donne :

{eq}\omega = \frac{0,3 m}{10 m/s} {/eq}

3) L’intégration des résultats de 1) et 2) dans l’équation de l’énergie cinétique totale donne :

{eq}KE_{total} = \frac{1}{2} (0,1(10)^2 + \frac{2}{3}mr^2 (\frac{0,3}{10})^2) {/ éq}

4) La dernière étape consiste à remplacer les variables de l’équation du moment d’inertie par les valeurs appropriées et à simplifier.

{eq}KE_{total} = \frac{1}{2} (0,1(10)^2 + \frac{2}{3} 0,1*0,3^2 (\frac{0,3}{10})^2) {/éq}

= {eq}KE_{total} = 5,0000027 {/eq} J

Cela arrondit à 5 J. Ainsi, le ballon de plage qui roule a 5 joules d’énergie cinétique.


Lors du calcul de l’énergie cinétique de rotation d’un objet, assurez-vous d’identifier correctement comment modéliser l’objet selon la figure 1. Pour trouver la vitesse angulaire requise pour calculer le moment d’inertie à partir de la figure 1, utilisez les informations données dans le problème, en convertissant vitesse linéaire en vitesse angulaire si nécessaire. L’exemple suivant montre comment trouver l’énergie cinétique de rotation d’un cylindre solide.

Exemple 2 : Trouvez l’énergie cinétique de rotation associée à une boîte de conserve de diamètre 8 cm remplie de spam et pesant 0,01 kg si la boîte est frappée par deux enfants. Pendant que la boîte tourne, elle effectue un tour en 0,2 seconde.

1) Ce problème porte sur l’énergie cinétique de rotation, donc la seule formule nécessaire est {eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2 {/eq}.

2) Écrivez les données et effectuez les conversions nécessaires.

  • d = 8 cm = 0,08 m -> {eq}\frac{d}{2} = r {/eq} donc {eq}r = \frac{.08}{2} = 0,04 m {/eq}
  • m = 0,1kg
  • La boîte de conserve pleine de spam peut être modélisée à partir de la figure 1 comme un cylindre solide. Le moment d’inertie est donc {eq}\frac{1}{2} mr^2 {/eq}.

2) La canette fait 1 tour en 0,2 s. La vitesse angulaire est le changement d’angle au fil du temps. Ici, le changement d’angle est de {eq}2 \pi {/eq} radians. Ce changement se produit en 0,2 s, donc la vitesse angulaire est {eq}\omega = \frac{2 \pi}{0.2} = 31,41 {/eq} rad/sec.

3) La dernière pièce du puzzle consiste à calculer le moment d’inertie, {eq}\frac{1}{2} mr^2 {/eq}. La masse donnée dans le problème était de 0,01 kg. Le rayon a été calculé en 1) comme étant de 0,04 m. En branchant ces valeurs dans l’équation du moment d’inertie et en simplifiant, on obtient :

{eq}I = \frac{1}{2} (0,01*0,04^2) = 8 * 10^{-6} {/eq} {eq}kg/m^2 {/eq}.

4) L’utilisation des valeurs de 1) à 3) dans la formule de l’énergie cinétique de rotation donne :

{eq}KE_{rotational} = \frac{1}{2}(8 * 10^{-6} * 31,41 ^2) = 0,0039 {/eq} J.


L’énergie cinétique de rotation, également appelée énergie cinétique angulaire, est l’énergie associée à une trajectoire circulaire. C’est l’énergie de rotation et la formule de l’énergie cinétique de rotation nécessite de connaître la vitesse angulaire et le moment d’inertie de l’objet en rotation. L’ équation de l’énergie cinétique de rotation peut également être calculée à l’aide du moment cinétique.

De nombreux mouvements ont une composante à la fois circulaire et linéaire. Lorsque tel est le cas, l’énergie cinétique totale doit inclure les contributions de l’énergie cinétique de rotation et de l’ énergie cinétique de translation. En général, la façon de trouver l’énergie cinétique de rotation d’un objet dépend de sa forme et de sa vitesse.



Transcription vidéo

Qu’est-ce que l’énergie cinétique de rotation?

Tout ce qui bouge possède de l’énergie cinétique. Mais qu’en est-il des objets qui tournent? L’équation de l’énergie cinétique est la moitié de mv au carré (1/2 mv^2). Mais si la vitesse v est nulle, que se passe-t-il alors? Un objet en rotation ne se déplace pas vers la gauche ou la droite, vers le haut ou vers le bas, vers l’avant ou vers l’arrière. Alors, son énergie cinétique est sûrement nulle aussi?

Mais cela n’a pas de sens. Si vous poussez un manège dans le parc, il tourne plus vite… et vous êtes de plus en plus fatigué. Vous deviez utiliser l’énergie de votre corps pour le pousser, l’énergie que vous tiriez de votre nourriture. Donc, cette énergie doit aller quelque part. Et c’est le cas.

Il s’avère qu’il existe deux types d’énergie cinétique: de translation et de rotation. L’énergie cinétique de rotation est l’énergie de mouvement qu’un objet possède en raison de sa rotation.

Équation

L’équation de l’énergie cinétique de translation était égale à la moitié de la masse multipliée par la vitesse au carré. L’énergie cinétique de rotation n’est pas si différente. Dans le mouvement de rotation, nous remplaçons MASSE par MOMENT D’INERTIE, et nous remplaçons VITESSE par VITESSE ANGULAIRE. Ainsi, l’équation de l’énergie cinétique de rotation n’est que la moitié, multipliée par le moment d’inertie, « I », mesuré en kilogrammes-mètres carrés, multiplié par la vitesse angulaire, oméga, au carré.

La vitesse angulaire est le nombre de radians par lequel l’objet tourne chaque seconde. Un radian est une mesure d’angle, assez similaire aux degrés, sauf que s’il y a 360 degrés dans un cercle, il y a 2 fois pi radians dans un cercle – 2 pi radians.

Et le moment d’inertie est l’équivalent en rotation de la masse: c’est une quantité qui aide un objet à résister à un changement de sa rotation. Tout comme une plus grande masse rend plus difficile l’accélération linéaire d’un objet, un moment d’inertie plus important rend plus difficile l’accélération ou le ralentissement d’une rotation.

Le moment d’inertie dépend de la forme de l’objet, de sa masse et de la façon dont cette masse est répartie autour de l’axe de rotation.

Exemple de calcul

Bon, passons en revue un exemple. Un manège à répartition uniforme des masses tourne autour de son axe à la vitesse de deux rotations par seconde. Si le moment d’inertie de l’objet est de 16 kg m^2, quelle quantité d’énergie cinétique de rotation le manège contient-il?

Tout d’abord, écrivons ce que nous savons. Nous savons que le moment d’inertie, I, est de 16. Et nous connaissons la vitesse de rotation. Une rotation complète contient 2 pi de radians, donc deux rotations par seconde équivaudraient à 4 pi de radians par seconde. Ce qui signifie que la vitesse angulaire est de 4 pi radians par seconde. Nous connaissons donc également la vitesse angulaire. Tout ce que nous avons à faire maintenant est d’intégrer les nombres dans l’équation et de déterminer l’énergie cinétique.

KE(rotationnel) = 1/2 ∗ 16 ∗ (4π)^2 = 1263 J

La moitié, multipliée par 16, multipliée par 4 pi au carré, nous donne 1 263 Joules. Et c’est tout; avaient fini!

Même si les choses peuvent devenir plus compliquées avec des objets non uniformes, le plus difficile dans de telles situations est de calculer le moment d’inertie lui-même. Une fois que vous l’avez, déterminer l’énergie cinétique de rotation est généralement assez simple.

Résumé de la leçon

Il existe deux types d’énergie cinétique: de translation et de rotation. L’énergie cinétique de rotation est l’énergie de mouvement qu’un objet possède en raison de sa rotation. L’équation de l’énergie cinétique de rotation n’est que la moitié, multipliée par le moment d’inertie, I, mesuré en kilogrammes mètres carrés, multiplié par la vitesse angulaire, oméga, mesurée en radians par seconde, au carré.

La vitesse angulaire est le nombre de radians par lequel l’objet tourne chaque seconde. Un radian est une mesure d’angle, assez similaire aux degrés, sauf que s’il y a 360 degrés dans un cercle, il y a 2 fois pi radians dans un cercle. Et le moment d’inertie est l’équivalent en rotation de la masse – c’est simplement une quantité qui aide un objet à résister à un changement de sa rotation. Tout comme une plus grande masse rend plus difficile l’accélération linéaire d’un objet, un moment d’inertie plus important rend plus difficile l’accélération ou le ralentissement d’une rotation. Le moment d’inertie dépend de la forme de l’objet, de sa masse et de la façon dont cette masse est répartie autour de l’axe de rotation.

Une fois que vous avez compris chacun de ces concepts, le calcul de l’énergie cinétique de rotation consiste généralement simplement à jouer avec quelques nombres et à laisser la calculatrice faire le travail.

Résultats d’apprentissage

Assurez-vous que vous pouvez effectuer ces tâches à la fin de votre session d’étude :

  • Définir ces termes: énergie cinétique de rotation, vitesse angulaire, radian et moment d’inertie
  • Comparez l’énergie cinétique de translation avec l’énergie cinétique de rotation
  • Calculer l’énergie cinétique de rotation


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